ගැටලුවේ පොදු ප්රකාශය: සමහර සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන් දන්නා නමුත්, මෙම සිදුවීම් හා සම්බන්ධ අනෙකුත් සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම ගැටළු වලදී, සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම වැනි සම්භාවිතා මත එවැනි මෙහෙයුම් සඳහා අවශ්ය වේ.
නිදසුනක් වශයෙන්, දඩයම් කිරීමේදී වෙඩි දෙකක් එල්ල විය. සිදුවීම ඒ- පළමු වෙඩි පහරින් තාරාවෙකුට පහර දීම, සිදුවීම බී- දෙවන වෙඩි පහරින් පහර. එවිට සිදුවීම් එකතුව ඒහා බී- පළමු හෝ දෙවන වෙඩි පහරින් හෝ පහර දෙකකින් පහර දෙන්න.
වෙනස් ආකාරයේ කාර්යයන්. සිදුවීම් කිහිපයක් ලබා දී ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, කාසියක් තුන් වරක් විසි කරනු ලැබේ. ලාංඡනය තුන් වරක් ගැලවී යාමේ සම්භාවිතාව සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. මෙය ගුණ කිරීමේ ගැටලුවකි.
නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතු කිරීම
සංයෝජනයක සම්භාවිතාව හෝ අහඹු සිදුවීම්වල තාර්කික එකතුවක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට අවශ්ය වූ විට සම්භාවිතා එකතු කිරීම භාවිතා වේ.
සිදුවීම් එකතුව ඒහා බීනම් කරන්න ඒ + බීහෝ ඒ ∪ බී. සිදුවීම් දෙකක එකතුව යනු අවම වශයෙන් එක් සිදුවීමක් සිදුවුවහොත් පමණක් සිදුවන සිදුවීමකි. එහි තේරුම එයයි ඒ + බී- නිරීක්ෂණය අතරතුර සිදුවීමක් සිදුවුවහොත් පමණක් සිදුවන සිදුවීමකි ඒහෝ සිද්ධිය බී, හෝ ඒ සමගම ඒහා බී.
සිදුවීම් නම් ඒහා බීඅන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් නොගැලපෙන අතර ඒවායේ සම්භාවිතාවන් ලබා දී ඇත, එවිට එක් අත්හදා බැලීමක ප්රතිඵලයක් ලෙස මෙම සිදුවීම් වලින් එකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සම්භාවිතා එකතු කිරීම භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ.
සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්‍රමේය.අන්යෝන්ය වශයෙන් නොගැලපෙන සිදුවීම් දෙකෙන් එකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව මෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතුවට සමාන වේ:
නිදසුනක් වශයෙන්, දඩයම් කිරීමේදී වෙඩි දෙකක් එල්ල විය. සිදුවීම නමුත්- පළමු වෙඩි පහරින් තාරාවෙකුට පහර දීම, සිදුවීම හිදී- දෙවන වෙඩි පහරින් පහර, සිදුවීම ( නමුත්+ හිදී) - පළමු හෝ දෙවන වෙඩි පහරින් හෝ පහර දෙකකින් පහර දෙන්න. ඉතින් සිදුවීම් දෙකක් නම් නමුත්හා හිදීනොගැලපෙන සිදුවීම් වේ, එසේ නම් නමුත්+ හිදී- අවම වශයෙන් මෙම සිදුවීම් වලින් එකක් හෝ සිදුවීම් දෙකක් සිදුවීම.
උදාහරණ 1පෙට්ටියක එකම ප්‍රමාණයේ බෝල 30 ක් අඩංගු වේ: රතු 10, නිල් 5 සහ සුදු. පාට (සුදු නොවේ) බෝලයක් නොබලා ගන්නා සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්. අපි හිතමු ඒ සිද්ධිය කියලා නමුත්- "රතු බෝලය ගනු ලැබේ", සහ සිද්ධිය හිදී- "නිල් බෝලය ගෙන ඇත." එවිට සිදුවීම "වර්ණ (සුදු නොවේ) බෝලයක් ගනු ලැබේ". සිදුවීමක සම්භාවිතාව සොයන්න නමුත්:
සහ සිදුවීම් හිදී:
සංවර්ධන නමුත්හා හිදී- අන්යෝන්ය වශයෙන් නොගැලපේ, මන්ද එක් බෝලයක් ගතහොත් විවිධ වර්ණවලින් යුත් බෝල ගත නොහැක. එබැවින්, අපි සම්භාවිතා එකතු කිරීම භාවිතා කරමු:
නොගැලපෙන සිදුවීම් කිහිපයක් සඳහා සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය.සිදුවීම් සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් සෑදෙන්නේ නම්, ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුව 1 ට සමාන වේ:
ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතුව ද 1 ට සමාන වේ:
ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම් සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් සාදන අතර සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක සම්භාවිතාව 1 වේ.
ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සාමාන්යයෙන් කුඩා අකුරු වලින් දැක්වේ. පිහා q. විශේෂයෙන්ම,
ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සඳහා පහත සූත්ර අනුගමනය කරයි:
උදාහරණ 2ඩෑෂ් හි ඉලක්කය කලාප 3 කට බෙදා ඇත. යම් වෙඩික්කරුවෙකු පළමු කලාපයේ ඉලක්කයකට වෙඩි තැබීමේ සම්භාවිතාව 0.15, දෙවන කලාපයේ - 0.23, තෙවන කලාපයේ - 0.17. වෙඩික්කරු ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව සහ වෙඩික්කරුට ඉලක්කය මඟ හැරීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුම: වෙඩික්කරු ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න:
වෙඩික්කරුට ඉලක්කය මග හැරීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න:
ඔබට සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම යන දෙකම යෙදිය යුතු වඩාත් දුෂ්කර කාර්යයන් - පිටුවේ "සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම සඳහා විවිධ කාර්යයන්" .
අන්යෝන්ය වශයෙන් ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව එකතු කිරීම
එක් සිදුවීමක් සිදුවීම එකම නිරීක්ෂණයකදී දෙවැනි සිදුවීමක් ඇතිවීම වැළැක්විය නොහැකි නම් අහඹු සිදුවීම් දෙකක් ඒකාබද්ධ යැයි කියනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, කැටයක් විසි කරන විට, සිද්ධිය නමුත්අංක 4 හි සිදුවීම සහ සිදුවීම ලෙස සැලකේ හිදී- ඉරට්ටේ අංකයක් වැටීම. අංක 4 ඉරට්ටේ අංකයක් වන බැවින්, සිදුවීම් දෙක අනුකූල වේ. ප්රායෝගිකව, අන්යෝන්ය වශයෙන් ඒකාබද්ධ සිදුවීම් වලින් එකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම සඳහා කාර්යයන් ඇත.
ඒකාබද්ධ සිදුවීම් සඳහා සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය.ඒකාබද්ධ සිදුවීම් වලින් එකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව මෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවේ එකතුවට සමාන වේ, එයින් සිදුවීම් දෙකෙහිම පොදු සිදුවීමේ සම්භාවිතාව අඩු කරනු ලැබේ, එනම් සම්භාවිතාවේ ගුණිතය. ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සඳහා සූත්රය පහත පරිදි වේ:
සිදුවීම් නිසා නමුත්හා හිදීගැළපෙන, සිද්ධිය නමුත්+ හිදීසිදුවිය හැකි සිදුවීම් තුනෙන් එකක් සිදුවන්නේ නම්: හෝ AB. නොගැලපෙන සිදුවීම් එකතු කිරීමේ ප්රමේයය අනුව, අපි පහත පරිදි ගණනය කරමු:
සිදුවීම නමුත්නොගැලපෙන සිදුවීම් දෙකෙන් එකක් සිදුවන්නේ නම්: හෝ AB. කෙසේ වෙතත්, නොගැලපෙන සිදුවීම් කිහිපයකින් එක් සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව මෙම සියලු සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්හි එකතුවට සමාන වේ:
ඒ හා සමානව:
ප්‍රකාශන (6) සහ (7) ප්‍රකාශනය (5) වෙත ආදේශ කිරීමෙන්, අපි ඒකාබද්ධ සිදුවීම් සඳහා සම්භාවිතා සූත්රය ලබා ගනිමු:
සූත්රය (8) භාවිතා කරන විට, සිදුවීම් බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය නමුත්හා හිදීවෙන්න පුලුවන්:
- අන්යෝන්ය වශයෙන් ස්වාධීන;
- අන්යෝන්ය වශයෙන් රඳා පවතී.
අන්යෝන්ය ස්වාධීන සිදුවීම් සඳහා සම්භාවිතා සූත්රය:
අන්යෝන්ය වශයෙන් රඳා පවතින සිදුවීම් සඳහා සම්භාවිතා සූත්රය:
සිදුවීම් නම් නමුත්හා හිදීඅනනුකූල වේ, එවිට ඔවුන්ගේ අහඹු සිදුවීම කළ නොහැකි අවස්ථාවක් වන අතර, ඒ අනුව, පී(AB) = 0. නොගැලපෙන සිදුවීම් සඳහා සිව්වන සම්භාවිතා සූත්රය පහත පරිදි වේ:
උදාහරණය 3ඔටෝ රේසිං වලදී, පළමු මෝටර් රථයේ රිය පැදවීමේදී, ජයග්රහණය කිරීමේ සම්භාවිතාව, දෙවන මෝටර් රථය ධාවනය කරන විට. සොයන්න:
- මෝටර් රථ දෙකම දිනා ගැනීමේ සම්භාවිතාව;
- අවම වශයෙන් එක් මෝටර් රථයක් දිනා ගැනීමේ සම්භාවිතාව;
1) පළමු මෝටර් රථය ජයග්රහණය කිරීමේ සම්භාවිතාව දෙවන මෝටර් රථයේ ප්රතිඵලය මත රඳා නොපවතී, එබැවින් සිදුවීම් නමුත්(පළමු මෝටර් රථය ජය ගනී) සහ හිදී(දෙවන කාර් ජයග්රහණ) - ස්වාධීන සිදුවීම්. මෝටර් රථ දෙකම ජයග්රහණය කිරීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න:
2) මෝටර් රථ දෙකෙන් එකක් දිනා ගැනීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න:
ඔබට සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම යන දෙකම යෙදිය යුතු වඩාත් දුෂ්කර කාර්යයන් - පිටුවේ "සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම සඳහා විවිධ කාර්යයන්" .
සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ගැටලුව ඔබම විසඳන්න, ඉන්පසු විසඳුම දෙස බලන්න
උදාහරණය 4කාසි දෙකක් විසි කරයි. සිදුවීම ඒ- පළමු කාසියේ ලාංඡනය නැතිවීම. සිදුවීම බී- දෙවන කාසියේ ලාංඡනය නැතිවීම. සිදුවීමක සම්භාවිතාව සොයන්න සී = ඒ + බී .
සම්භාවිතාව ගුණ කිරීම
සිදුවීම්වල තාර්කික නිෂ්පාදනයක සම්භාවිතාව ගණනය කළ යුතු විට සම්භාවිතා ගුණ කිරීම භාවිතා වේ.
මෙම අවස්ථාවේ දී, අහඹු සිදුවීම් ස්වාධීන විය යුතුය. එක් සිදුවීමක් සිදුවීම දෙවන සිදුවීමේ සම්භාවිතාවයට බලපාන්නේ නැතිනම් සිදුවීම් දෙකක් අන්යෝන්ය වශයෙන් ස්වාධීන යැයි කියනු ලැබේ.
ස්වාධීන සිදුවීම් සඳහා සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය.ස්වාධීන සිදුවීම් දෙකක් එකවර සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නමුත්හා හිදීමෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්හි ගුණිතයට සමාන වන අතර සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
උදාහරණ 5කාසිය පිට පිට තුන් වරක් විසිකරයි. ලාංඡනය තුන් වතාවක්ම ගැලවී යාමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුමක්. කාසියේ පළමු කාසියේ දී, දෙවන වර සහ තුන්වන වරටත් ලාංඡනය වැටීමේ සම්භාවිතාව. ලාංඡනය තුන් වතාවක්ම ගැලවී යාමේ සම්භාවිතාව සොයන්න:
සම්භාවිතාව ගුණ කිරීම සඳහා ගැටළු ඔබම විසඳන්න, ඉන්පසු විසඳුම දෙස බලන්න
උදාහරණය 6නව ටෙනිස් බෝල නවයක් සහිත පෙට්ටියක් ඇත. ක්‍රීඩාව සඳහා බෝල තුනක් ගනු ලැබේ, ක්‍රීඩාවෙන් පසු ඒවා නැවත දමනු ලැබේ. පන්දු තෝරාගැනීමේදී ඔවුන් ක්‍රීඩා කළ සහ ක්‍රීඩා නොකළ පන්දු ලෙස වෙන්කර හඳුනා නොගනී. තරඟ තුනකට පසු පෙට්ටියේ ක්‍රීඩා නොකළ බෝල නොතිබීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
උදාහරණ 7රුසියානු හෝඩියේ අකුරු 32 ක් කැපූ හෝඩියේ කාඩ්පත් මත ලියා ඇත. කාඩ්පත් පහක් අහඹු ලෙස ඇද, එකකට පසු එකක්, ඒවා දිස්වන අනුපිළිවෙලට මේසය මත තබා ඇත. අකුරු "අවසානය" යන වචනය සෑදීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
උදාහරණ 8සම්පූර්ණ කාඩ්පත් තට්ටුවකින් (ෂීට් 52), කාඩ්පත් හතරක් එකවර පිටතට ගනු ලැබේ. මෙම කාඩ්පත් හතරම එකම ඇඳුමක සම්භාවිතාව සොයන්න.
උදාහරණ 9උදාහරණ 8 හි ඇති එකම ගැටළුව, නමුත් සෑම කාඩ්පතක්ම ඇඳීමෙන් පසු නැවත තට්ටුවට යවනු ලැබේ.
වඩාත් සංකීර්ණ කාර්යයන්, ඔබට සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම යන දෙකම යෙදිය යුතු අතර, සිදුවීම් කිහිපයක නිෂ්පාදිතය ගණනය කළ යුතුය - පිටුවේ "සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම සඳහා විවිධ කාර්යයන්" .
අවම වශයෙන් අන්යෝන්ය වශයෙන් ස්වාධීන සිදුවීම් වලින් එකක් හෝ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 1 සිට ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්හි ගුණිතය අඩු කිරීමෙන්, එනම් සූත්‍රයෙන් ගණනය කළ හැකිය.
මුලදී, ඩයිස් ක්රීඩාවේ තොරතුරු සහ ආනුභවික නිරීක්ෂණ එකතුවක් පමණක් වීම, සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්යාය ඝන විද්‍යාවක් බවට පත්ව ඇත. එයට ගණිතමය රාමුවක් ලබා දුන්නේ ෆර්මැට් සහ පැස්කල් ය.
සදාකාලික පරාවර්තනවල සිට සම්භාවිතා න්යාය දක්වා
සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්යාය බොහෝ මූලික සූත්‍රවලට ණයගැති පුද්ගලයන් දෙදෙනෙකු වන බ්ලේස් පැස්කල් සහ තෝමස් බේස් ගැඹුරු ආගමික පුද්ගලයන් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, දෙවැන්නා ප්‍රෙස්බිටේරියන් අමාත්‍යවරයෙකි. පෙනෙන විදිහට, මෙම විද්‍යාඥයින් දෙදෙනා යම් වාසනාවක් පිළිබඳ මතයේ වැරදි බව ඔප්පු කිරීමට ඇති ආශාව, ඇයගේ ප්‍රියතමයන්ට වාසනාව ලබා දීම, මෙම ප්‍රදේශයේ පර්යේෂණ සඳහා තල්ලුවක් ලබා දුන්නේය. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම අහඹු ක්‍රීඩාවක්, එහි ජයග්රහණ සහ පරාජයන් සමඟ, ගණිතමය මූලධර්මවල සංධ්වනියක් පමණි.
සමානවම සූදුවේ නියැලෙන්නෙකු වූ සහ විද්‍යාව කෙරෙහි උදාසීන නොවූ පුද්ගලයෙකු වූ Chevalier de Mere ගේ උද්වේගයට ස්තූතිවන්ත වන්නට, සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට ක්‍රමයක් සොයා ගැනීමට පැස්කල්ට සිදුවිය. De Mere මෙම ප්රශ්නය ගැන උනන්දු විය: "ලකුණු 12 ක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 50% ඉක්මවන පරිදි ඔබට ඩයිස් දෙකක් යුගල වශයෙන් කොපමණ වාරයක් විසි කළ යුතුද?". මහත්මයා අතිශයින් උනන්දු වූ දෙවන ප්රශ්නය: "නිම නොකළ ක්රීඩාවේ සහභාගිවන්නන් අතර ඔට්ටුව බෙදන්නේ කෙසේද?" ඇත්ත වශයෙන්ම, සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යායේ වර්ධනයේ නොදැනුවත්වම ආරම්භකයා බවට පත් වූ ඩි මෙරේගේ ප්‍රශ්න දෙකටම පැස්කල් සාර්ථකව පිළිතුරු දුන්නේය. ඩි මෙරේගේ පුද්ගලයා සාහිත්‍යයේ නොව මෙම ප්‍රදේශයේ ප්‍රසිද්ධව සිටීම සිත්ගන්නා කරුණකි.
මීට පෙර, මෙය අනුමාන විසඳුමක් පමණක් බව විශ්වාස කළ බැවින්, සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට කිසිදු ගණිතඥයෙකු තවමත් උත්සාහයක් ගෙන නොමැත. Blaise Pascal සිද්ධියක සම්භාවිතාව පිළිබඳ පළමු අර්ථ දැක්වීම ලබා දුන් අතර මෙය ගණිතමය වශයෙන් සාධාරණීකරණය කළ හැකි නිශ්චිත රූපයක් බව පෙන්නුම් කළේය. සම්භාවිතා න්යාය සංඛ්‍යාලේඛන සඳහා පදනම වී ඇති අතර නවීන විද්‍යාවේ බහුලව භාවිතා වේ.
අහඹු බව යනු කුමක්ද
අපි අනන්ත වාර ගණනක් නැවත නැවතත් කළ හැකි පරීක්ෂණයක් සලකා බැලුවහොත්, අපට අහඹු සිදුවීමක් නිර්වචනය කළ හැකිය. මෙය අත්දැකීමෙන් ලබාගත හැකි ප්‍රතිඵලවලින් එකකි.
අත්දැකීම් යනු නියත තත්වයන් තුළ නිශ්චිත ක්රියාවන් ක්රියාත්මක කිරීමයි.
අත්දැකීම්වල ප්රතිඵල සමඟ වැඩ කිරීමට හැකි වන පරිදි, සිදුවීම් සාමාන්යයෙන් A, B, C, D, E ...
අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව
සම්භාවිතාවයේ ගණිතමය කොටස වෙත යාමට හැකිවීම සඳහා, එහි සියලුම සංරචක නිර්වචනය කිරීම අවශ්ය වේ.
සිදුවීමක සම්භාවිතාව යනු අත්දැකීමක ප්රතිඵලයක් ලෙස යම් සිදුවීමක් (A හෝ B) සිදුවීමේ හැකියාව පිළිබඳ සංඛ්‍යාත්මක මිනුමක් වේ. සම්භාවිතාව P(A) හෝ P(B) ලෙස දැක්වේ.
සම්භාවිතා න්යාය යනු:
- විශ්වසනීයР(Ω) = 1 අත්හදා බැලීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස සිදුවීම සහතික කෙරේ;
- නොහැකි යසිදුවීම කිසිදා සිදු විය නොහැක Р(Ø) = 0;
- අහඹුසිදුවීම නිශ්චිත හා කළ නොහැකි අතර පවතී, එනම්, එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව හැකි නමුත් සහතික නොවේ (අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව සෑම විටම 0≤P(A)≤1 තුළ වේ).
සිදුවීම් අතර සබඳතා
අවම වශයෙන් එක් සංරචකයක් වන A හෝ B හෝ - A සහ B යන දෙකම ක්‍රියාවට නැංවීමේදී සිදුවීම ගණනය කරන විට A + B සිදුවීම් දෙකම සලකා බලනු ලැබේ.
එකිනෙකා සම්බන්ධයෙන්, සිදුවීම් විය හැක්කේ:
- සමානව හැකි ය.
- ගැළපෙන.
- නොගැලපේ.
- විරුද්ධ (අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර).
- යැපෙන.
සමාන සම්භාවිතාවකින් සිදුවීම් දෙකක් සිදුවිය හැකි නම්, ඒවා සමානව හැකි.
A සිදුවීමේ සිදුවීම B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව අවලංගු නොකරන්නේ නම්, ඒවා ගැළපෙන.
A සහ B සිදුවීම් එකම අත්හදා බැලීමක දී එකවර සිදු නොවේ නම්, ඒවා හැඳින්වේ නොගැලපෙන. කාසියක් විසි කිරීම හොඳ උදාහරණයකි: වලිගය ඉහළට පැමිණීම ස්වයංක්‍රීයව හිස ඔසවන්නේ නැත.
එවැනි නොගැලපෙන සිදුවීම්වල එකතුව සඳහා සම්භාවිතාව එක් එක් සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතුවෙන් සමන්විත වේ:
P(A+B)=P(A)+P(B)
එක් සිදුවීමක් සිදුවීමෙන් තවත් සිදුවීමක් සිදුවිය නොහැකි නම්, ඒවා ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස හැඳින්වේ. එවිට ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙකු A ලෙස නම් කර ඇති අතර අනෙක - Ā ("A නොවේ" ලෙස කියවන්න). A සිදුවීම සිදුවීමෙන් අදහස් වන්නේ Ā සිදු නොවූ බවයි. මෙම සිදුවීම් දෙක 1 ට සමාන සම්භාවිතා එකතුවක් සහිත සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සාදයි.
යැපෙන සිදුවීම් එකිනෙකාගේ සම්භාවිතාව අඩු කිරීම හෝ වැඩි කිරීම, අන්යෝන්ය බලපෑමක් ඇත.
සිදුවීම් අතර සබඳතා. උදාහරණ
උදාහරණ භාවිතා කරමින් සම්භාවිතා න්‍යායේ මූලධර්ම සහ සිද්ධීන්ගේ සංකලනය තේරුම් ගැනීම වඩාත් පහසු වේ.
සිදු කරනු ලබන අත්හදා බැලීම වන්නේ පෙට්ටියෙන් බෝල ඇද ගැනීමයි, එක් එක් අත්හදා බැලීමේ ප්රතිඵලය මූලික ප්රතිඵලයකි.
සිදුවීමක් යනු අත්දැකීමක ඇති විය හැකි ප්‍රතිඵලවලින් එකකි - රතු පන්දුවක්, නිල් පන්දුවක්, අංක හය සහිත පන්දුවක් යනාදිය.
පරීක්ෂණ අංක 1. බෝල 6 ක් ඇති අතර, ඒවායින් තුනක් නිල් පැහැති ඔත්තේ අංක සහිත වන අතර අනෙක් තුන ඉරට්ටේ අංක සහිත රතු වේ.
පරීක්ෂණ අංක 2. එකේ සිට හය දක්වා අංක සහිත නිල් බෝල 6ක් ඇත.
මෙම උදාහරණය මත පදනම්ව, අපට සංයෝජන නම් කළ හැකිය:
- විශ්වසනීය සිදුවීමක්.ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 2, "නිල් බෝලය ලබා ගන්න" සිදුවීම විශ්වාසදායකය, මන්ද එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 1 වන බැවින්, සියලුම බෝල නිල් පැහැයෙන් යුක්ත වන අතර මග හැරිය නොහැක. "අංක 1 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න" යන සිදුවීම අහඹු සිදුවීමකි.
- කළ නොහැකි සිදුවීමක්.ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් නිල් සහ රතු බෝල සහිත අංක 1, "දම් පැහැති පන්දුව ලබා ගැනීම" සිදුවීම කළ නොහැක්කකි, මන්ද එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 0 වේ.
- සමාන සිදුවීම්.ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 1, "අංක 2 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න" සහ "අංක 3 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න" යන සිද්ධීන් සමාන විය හැකි අතර, සිදුවීම් "ඉරට්ටේ අංකයකින් පන්දුව ලබා ගන්න" සහ "අංක 2 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න" ” විවිධ සම්භාවිතාවන් ඇත.
- ගැළපෙන සිදුවීම්.එක දිගට දෙවරක් ඩයි විසි කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී හයේ පහරක් ලබා ගැනීම අනුකූල සිදුවීම් වේ.
- නොගැලපෙන සිදුවීම්.එකම ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 1 සිදුවීම් "රතු පන්දුව ලබා ගන්න" සහ "ඔත්තේ අංකයකින් පන්දුව ලබා ගන්න" එකම අත්දැකීම තුළ ඒකාබද්ධ කළ නොහැක.
- ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්.මෙයට වඩාත්ම කැපී පෙනෙන උදාහරණය වන්නේ කාසි විසිකිරීමයි, එහිදී හිස් ඇඳීම වලිග නොඇඳීම හා සමාන වන අතර ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුව සෑම විටම 1 (සම්පූර්ණ කණ්ඩායම) වේ.
- යැපෙන සිදුවීම්. ඉතින්, ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 1, ඔබට පේළියකට දෙවරක් රතු බෝලයක් නිස්සාරණය කිරීමේ ඉලක්කය ඔබ විසින්ම සකසා ගත හැකිය. එය පළමු වරට උකහා ගැනීම හෝ එය උපුටා නොගැනීම දෙවන වර උපුටා ගැනීමේ සම්භාවිතාවයට බලපායි.
පළමු සිදුවීම දෙවන (40% සහ 60%) සම්භාවිතාවට සැලකිය යුතු ලෙස බලපාන බව දැකිය හැකිය.
සිදුවීම් සම්භාවිතා සූත්රය
වාසනාව කීමේ සිට නිශ්චිත දත්ත දක්වා සංක්‍රමණය සිදු වන්නේ මාතෘකාව ගණිතමය තලයට මාරු කිරීමෙනි. එනම්, "ඉහළ සම්භාවිතාව" හෝ "අවම සම්භාවිතාව" වැනි අහඹු සිදුවීමක් පිළිබඳ විනිශ්චයන් නිශ්චිත සංඛ්‍යාත්මක දත්ත වලට පරිවර්තනය කළ හැක. එවැනි ද්රව්ය වඩාත් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් වලට ඇගයීමට, සංසන්දනය කිරීමට සහ හඳුන්වා දීමට දැනටමත් අවසර ඇත.
ගණනය කිරීමේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, සිදුවීමක සම්භාවිතාව පිළිබඳ නිර්වචනය යනු කිසියම් සිදුවීමක් සම්බන්ධයෙන් ඇති විය හැකි අත්දැකීම්වල ප්රතිඵල ගණනට මූලික ධනාත්මක ප්රතිඵල සංඛ්‍යාවේ අනුපාතයයි. සම්භාවිතාව P (A) මගින් දක්වනු ලැබේ, එහිදී P යනු "සම්භාවිතාව" යන වචනයයි, එය ප්රංශ භාෂාවෙන් "සම්භාවිතාව" ලෙස පරිවර්තනය කර ඇත.
එබැවින්, සිදුවීමක සම්භාවිතාව සඳහා සූත්රය:
m යනු A සිදුවීම සඳහා හිතකර ප්රතිඵල සංඛ්‍යාව වන අතර, n යනු මෙම අත්දැකීම සඳහා හැකි සියලු ප්‍රතිඵලවල එකතුවයි. සිදුවීමක සම්භාවිතාව සෑම විටම 0 සහ 1 අතර වේ:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
සිදුවීමක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම. උදාහරණයක්
අපි ස්පාඤ්ඤය ගනිමු. කලින් විස්තර කර ඇති බෝල සහිත අංක 1: අංක 1/3/5 සහිත නිල් බෝල 3 සහ අංක 2/4/6 සහිත රතු බෝල 3.
මෙම පරීක්ෂණය මත පදනම්ව, විවිධ කාර්යයන් කිහිපයක් සලකා බැලිය හැකිය:
- A - රතු බෝල වැටීම. රතු බෝල 3ක් ඇති අතර, සම්පූර්ණ ප්‍රභේද 6ක් ඇත.මෙය සරලම උදාහරණය වන අතර, සිදුවීමක සම්භාවිතාව P(A)=3/6=0.5 වේ.
- B - ඉරට්ටේ අංකයක් වැටීම. සම්පූර්ණයෙන් ඉරට්ටේ සංඛ්යා 3ක් (2,4,6) ඇති අතර, හැකි සංඛ්‍යාත්මක විකල්ප ගණන 6කි. මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(B)=3/6=0.5 වේ.
- C - 2ට වඩා වැඩි සංඛ්යාවක් අහිමි වීම. හැකි ප්රතිඵල මුළු සංඛ්‍යාවෙන් එවැනි විකල්ප 4ක් (3,4,5,6) ඇත 6. C සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(C)=4/6= වේ. 0.67.
ගණනය කිරීම් වලින් දැකිය හැකි පරිදි, C සිදුවීමට වැඩි සම්භාවිතාවක් ඇත, මන්ද යත් හැකි ධනාත්මක ප්රතිඵල සංඛ්‍යාව A සහ B වලට වඩා වැඩි බැවිනි.
නොගැලපෙන සිදුවීම්
එවැනි සිදුවීම් එකම අත්දැකීමක් තුළ එකවර දිස්විය නොහැක. ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් මෙන් අංක 1, නිල් සහ රතු බෝලයක් එකවර ලබා ගැනීමට නොහැකි ය. එනම්, ඔබට නිල් හෝ රතු බෝලයක් ලබා ගත හැකිය. එලෙසම, ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ සංඛ්යාවක් එකවර ඩයි එකක දිස්විය නොහැක.
සිදුවීම් දෙකක සම්භාවිතාව ඒවායේ එකතුවේ හෝ නිෂ්පාදනයේ සම්භාවිතාව ලෙස සැලකේ. එවැනි සිදුවීම්වල එකතුව A + B සිදුවීමක් ලෙස සලකනු ලබන අතර එය A හෝ B සිදුවීමක පෙනුමෙන් සහ ඒවායේ AB හි ගුණිතය - දෙකෙහිම පෙනුමෙන් සමන්විත වේ. නිදසුනක් වශයෙන්, එක් විසි කිරීමකදී ඩයිස් දෙකක මුහුණු මත එකවර හයේ පහර දෙකක් පෙනුම.
සිදුවීම් කිහිපයක එකතුව අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක් හෝ සිදුවීම ඇඟවුම් කරන සිදුවීමකි. සිදුවීම් කිහිපයක ප්රතිඵලය ඒ සියල්ලේම ඒකාබද්ධ සිදුවීමයි.
සම්භාවිතා න්යාය තුළ, රීතියක් ලෙස, "සහ" යන සංයෝජනය භාවිතා කිරීම, එකතුව, "හෝ" - ගුණ කිරීම පෙන්නුම් කරයි. උදාහරණ සහිත සූත්ර සම්භාවිතා න්‍යායේ එකතු කිරීමේ සහ ගුණ කිරීමේ තර්කනය ඔබට තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වේ.
නොගැලපෙන සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව
නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සලකා බැලුවහොත්, සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුවට සමාන වේ:
P(A+B)=P(A)+P(B)
උදාහරණයක් ලෙස: අපි ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් සම්භාවිතාව ගණනය කරමු. නිල් සහ රතු බෝල සහිත අංක 1 1 සහ 4 අතර සංඛ්යාවක් පහත වැටෙනු ඇත. අපි එක් ක්රියාවකින් නොව, මූලික සංරචකවල සම්භාවිතා එකතුවෙන් ගණනය කරමු. ඉතින්, එවැනි අත්හදා බැලීමක දී ඇත්තේ බෝල 6 ක් හෝ හැකි සියලු ප්රතිඵල 6 ක් පමණි. කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන සංඛ්යා 2 සහ 3 වේ. අංක 2 ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 1/6 වේ, අංක 3 හි සම්භාවිතාව ද 1/6 වේ. 1 සහ 4 අතර සංඛ්යාවක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වන්නේ:
සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක නොගැලපෙන සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව 1 වේ.
එබැවින්, ඝනකයක් සමඟ අත්හදා බැලීමේදී අපි සියලු සංඛ්යා ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව එකතු කළහොත්, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට එකක් ලැබේ.
මෙය ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම් සඳහා ද සත්‍ය වේ, නිදසුනක් ලෙස, කාසියක් සමඟ අත්හදා බැලීමේ දී, එහි එක් පැත්තක් A සිදුවීම වන අතර අනෙක් ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම Ā වේ, දන්නා පරිදි,
Р(А) + Р(Ā) = 1
නොගැලපෙන සිදුවීම් ඇති කිරීමේ සම්භාවිතාව
එක් නිරීක්ෂණයකදී නොගැලපෙන සිදුවීම් දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් ඇතිවීම සලකා බැලීමේදී සම්භාවිතා ගුණ කිරීම භාවිතා වේ. A සහ B සිදුවීම් එකවර එහි දිස් වීමේ සම්භාවිතාව ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි ගුණිතයට සමාන වේ, හෝ:
P(A*B)=P(A)*P(B)
උදාහරණයක් ලෙස, එහි ඇති සම්භාවිතාව උත්සාහයන් දෙකක ප්රතිඵලයක් ලෙස අංක 1, නිල් පැහැති බෝලයක් දෙවරක් දිස්වනු ඇත, සමාන වේ
එනම්, බෝල නිස්සාරණය සමඟ උත්සාහ දෙකක ප්රතිඵලයක් ලෙස, නිල් බෝල පමණක් නිස්සාරණය කරන විට සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 25% කි. මෙම ගැටලුව සම්බන්ධයෙන් ප්‍රායෝගික අත්හදා බැලීම් සිදු කිරීම සහ මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම එසේ දැයි බැලීම ඉතා පහසුය.
ඒකාබද්ධ සිදුවීම්
ඒවායින් එකක පෙනුම අනෙකාගේ පෙනුම සමඟ සමපාත විය හැකි විට සිදුවීම් ඒකාබද්ධ ලෙස සැලකේ. ඔවුන් ඒකාබද්ධ බව තිබියදීත්, ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සලකනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 6 ඔවුන් දෙදෙනාටම වැටෙන විට ඩයිස් දෙකක් විසි කිරීම ප්‍රති result ලයක් ලබා දිය හැකිය, සිදුවීම් සමපාත වී එකවර දර්ශනය වුවද, ඒවා එකිනෙකින් ස්වාධීන වේ - එක් හයක් පමණක් වැටිය හැකිය, දෙවන මියයාමට නැත. එය මත බලපෑම.
ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ඔවුන්ගේ එකතුවේ සම්භාවිතාව ලෙස සැලකේ.
ඒකාබද්ධ සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව. උදාහරණයක්
එකිනෙක සම්බන්ධව ඒකාබද්ධ වන A සහ B සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව, එම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවේ එකතුවට ඔවුන්ගේ නිෂ්පාදනයේ සම්භාවිතාව අඩු කිරීමට සමාන වේ (එනම්, ඒවායේ ඒකාබද්ධ ක්රියාත්මක කිරීම):
ආර් සන්ධිය. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)
එක් පහරකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.4 ක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. ඉන්පසුව A ඉසව්ව - පළමු උත්සාහයේදී ඉලක්කයට පහර දීම, B - දෙවන උත්සාහයේදී. පළමු සහ දෙවන වෙඩි පහරින් ඉලක්කයට පහර දිය හැකි බැවින් මෙම සිදුවීම් ඒකාබද්ධ වේ. නමුත් සිදුවීම් රඳා පවතින්නේ නැත. වෙඩි පහර දෙකකින් (අවම වශයෙන් එකක්) ඉලක්කයට පහර දීමේ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව කොපමණද? සූත්රය අනුව:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
ප්රශ්නයට පිළිතුර වන්නේ: "වෙඩි දෙකකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 64% කි."
සිදුවීමක සම්භාවිතාව සඳහා වන මෙම සූත්රය නොගැලපෙන සිදුවීම් සඳහාද යෙදිය හැකිය, එහිදී සිදුවීමක සන්ධි සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(AB) = 0. මෙයින් අදහස් වන්නේ නොගැලපෙන සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස සැලකිය හැකි බවයි. යෝජිත සූත්‍රයේ.
පැහැදිලිකම සඳහා සම්භාවිතා ජ්යාමිතිය
සිත්ගන්නා කරුණ නම්, ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව එකිනෙකින් ඡේදනය වන A සහ B යන ප්‍රදේශ දෙකක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක. පින්තූරයෙන් ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඔවුන්ගේ එකමුතුවේ ප්රදේශය ඔවුන්ගේ ඡේදනය වන ප්රදේශයෙන් අඩු මුළු ප්රදේශයට සමාන වේ. මෙම ජ්‍යාමිතික පැහැදිලි කිරීම බැලූ බැල්මට තාර්කික නොවන සූත්රය වඩාත් තේරුම් ගත හැකි කරයි. සම්භාවිතා න්යාය තුළ ජ්‍යාමිතික විසඳුම් සුලභ නොවන බව සලකන්න.
ඒකාබද්ධ සිදුවීම් සමූහයක (දෙකකට වඩා වැඩි) එකතුවෙහි සම්භාවිතාව පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම තරමක් අපහසු වේ. එය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ මෙම අවස්ථා සඳහා ලබා දී ඇති සූත්ර භාවිතා කළ යුතුය.
යැපෙන සිදුවීම්
ඒවායින් එකක් (A) සිදුවීම අනෙක් (B) සිදුවීමේ සම්භාවිතාවට බලපාන්නේ නම් යැපෙන සිදුවීම් ලෙස හැඳින්වේ. එපමනක් නොව, A සිදුවීම සහ එය සිදු නොවීම යන දෙකෙහිම බලපෑම සැලකිල්ලට ගනී. සිද්ධීන් නිර්වචනය අනුව පරායත්ත ලෙස හැඳින්වුවද, ඒවායින් එකක් පමණක් රඳා පවතී (B). සාමාන්ය සම්භාවිතාව P(B) හෝ ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ලෙස දක්වා ඇත. යැපෙන්නන් සම්බන්ධයෙන්, නව සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ - කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව P A (B), එය රඳා පවතින සිද්ධිය A (උපකල්පනය) සිදුවී ඇති කොන්දේසිය යටතේ රඳා පවතින B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වේ.
නමුත් A ඉසව්ව ද අහඹු වේ, එබැවින් එය ගණනය කිරීම් වලදී සැලකිල්ලට ගත යුතු සහ සැලකිල්ලට ගත හැකි සම්භාවිතාවක් ද ඇත. පහත උදාහරණය රඳා පවතින සිදුවීම් සහ උපකල්පනය සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේද යන්න පෙන්වයි.
යැපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමේ උදාහරණය
යැපෙන සිදුවීම් ගණනය කිරීම සඳහා හොඳ උදාහරණයක් වන්නේ සම්මත කාඩ්පත් තට්ටුවකි.
කාඩ්පත් 36 ක තට්ටුවක උදාහරණය මත රඳා පවතින සිදුවීම් සලකා බලන්න. පළමු කාඩ්පත අඳින්නේ නම්, තට්ටුවෙන් අඳින ලද දෙවන කාඩ්පත දියමන්ති ඇඳුමක් වීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ:
- රබන්.
- තවත් ඇඳුමක්.
නිසැකවම, දෙවන සිදුවීම B හි සම්භාවිතාව පළමු A මත රඳා පවතී. එබැවින්, පළමු විකල්පය සත්‍ය නම්, එනම් තට්ටුවේ 1 කාඩ්පත (35) සහ 1 දියමන්ති (8) අඩු නම්, B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව:
P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23
දෙවන විකල්පය සත්‍ය නම්, තට්ටුවේ කාඩ්පත් 35 ක් ඇති අතර, මුළු රබන් ගණන (9) තවමත් සංරක්ෂණය කර ඇත, එවිට පහත සිදුවීමේ සම්භාවිතාව B වේ:
P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.
A සිදුවීම පළමු කාඩ්පත දියමන්ති බව කොන්දේසි සහිත නම්, B ඉසව්වේ සම්භාවිතාව අඩු වන අතර, අනෙක් අතට.
යැපෙන සිදුවීම් ගුණ කිරීම
පෙර පරිච්ඡේදය මත පදනම්ව, අපි පළමු සිදුවීම (A) සත්‍යයක් ලෙස පිළිගනිමු, නමුත් සාරය වශයෙන් එය අහඹු චරිතයක් ඇත. මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව, එනම් කාඩ්පත් තට්ටුවකින් රබන් නිස්සාරණය, සමාන වේ:
P(A) = 9/36=1/4
න්යාය තනිවම නොපවතින නමුත් ප්‍රායෝගික අරමුණු ඉටු කිරීමට කැඳවනු ලබන බැවින්, බොහෝ විට රඳා පවතින සිදුවීම් නිපදවීමේ සම්භාවිතාව අවශ්ය බව සැලකිල්ලට ගැනීම සාධාරණය.
පරායත්ත සිද්ධිවල සම්භාවිතාවන් පිළිබඳ ප්‍රමේයයට අනුව, ඒකාබද්ධව යැපෙන සිදුවීම් A සහ B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව එක් සිදුවීමක සම්භාවිතාවට සමාන වේ, එය B සිදුවීමේ කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ (A මත පදනම්ව):
P (AB) \u003d P (A) * P A (B)
ඉන්පසු තට්ටුවක් සහිත උදාහරණයේ දියමන්ති ඇඳුමකින් කාඩ්පත් දෙකක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව:
9/36*8/35=0.0571 හෝ 5.7%
මුලින් දියමන්ති නොව, පසුව දියමන්ති නිස්සාරණය කිරීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ:
27/36*9/35=0.19 හෝ 19%
දියමන්තියක් හැර වෙනත් ඇඳුමක කාඩ්පතක් පළමුවෙන් අඳින්නේ නම්, B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වැඩි බව දැකිය හැකිය. මෙම ප්රතිඵලය තරමක් තර්කානුකූල සහ තේරුම්ගත හැකි ය.
සිදුවීමක සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව
කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව පිළිබඳ ගැටළුවක් බහුවිධ වූ විට, එය සාම්ප්රදායික ක්රම මගින් ගණනය කළ නොහැකිය. උපකල්පන දෙකකට වඩා ඇති විට, එනම් A1, A2, ..., A n , .. කොන්දේසිය යටතේ සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් සාදයි:
- P(A i)>0, i=1,2,...
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
එබැවින්, අහඹු සිදුවීම් A1, A2, ..., A n සම්පූර්ණ සමූහයක් සමඟ B සිදුවීම සඳහා සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව සඳහා වන සූත්රය වන්නේ:
අනාගතය දෙස බැලීමක්
විද්‍යාවේ බොහෝ ක්ෂේත්‍රවල අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව අත්‍යවශ්‍ය වේ: ආර්ථිකමිතික, සංඛ්‍යාලේඛන, භෞතික විද්‍යාව, යනාදිය. සමහර ක්‍රියාවලීන් නියත වශයෙන්ම විස්තර කළ නොහැකි බැවින්, ඒවාම සම්භාවිතාව වන බැවින්, විශේෂ වැඩ ක්රම අවශ්ය වේ. සිද්ධි සිද්ධාන්තයක සම්භාවිතාව ඕනෑම තාක්ෂණික ක්ෂේත්‍රයක දෝෂයක් හෝ අක්‍රියතාවක් ඇතිවීමේ හැකියාව තීරණය කිරීමේ ක්‍රමයක් ලෙස භාවිතා කළ හැක.
සම්භාවිතාව හඳුනා ගැනීමෙන්, අපි කෙසේ හෝ අනාගතයට න්‍යායික පියවරක් තබමින්, සූත්ර ප්‍රිස්මය හරහා එය දෙස බලන බව පැවසිය හැකිය.
ස්වාධීන සිදුවීම් සමඟ සාමාන්ය ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඔවුන් ඉගෙන ගත් අතර, දැන් වඩාත් සිත්ගන්නාසුලු අඛණ්ඩ පැවැත්මක් අනුගමනය කරනු ඇත, එමඟින් නව ද්රව්ය ප්‍රගුණ කිරීමට පමණක් නොව, සමහර විට, ප්‍රායෝගික එදිනෙදා උපකාර ලබා දීමටද ඉඩ සලසයි.
සිදුවීම්වල ස්වාධීනත්වය යනු කුමක්දැයි කෙටියෙන් පුනරුච්චාරණය කරමු: සිදුවීම් සහ ඒවායින් එකක සම්භාවිතාව නම් ස්වාධීන වේ රඳා නොපවතීවෙනත් සිදුවීමක් සිදුවීමෙන් හෝ සිදු නොවීමෙනි. සරලම උදාහරණය වන්නේ කාසි දෙකක් විසි කිරීමයි. එක් කාසියක් මත හිස් හෝ වලිග ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව තවත් කාසියක් විසි කිරීමේ ප්රතිඵලය මත රඳා නොපවතී.
සිද්ධීන් මත යැපීම පිළිබඳ සංකල්පය ද ඔබට හුරුපුරුදු වන අතර ඒවා සමඟ සමීපව කටයුතු කිරීමේ වාරය පැමිණ තිබේ.
අපි මුලින්ම සාම්ප්රදායික සිද්ධි දෙක සලකා බලමු: සිදුවීමක් යනු යැපෙන අහඹු සාධක වලට අමතරව, එහි සම්භාවිතාව සිදුවීම හෝ සිදු නොවීම මත රඳා පවතී නම් . සිදුවීමක සම්භාවිතාව, සිද්ධිය යැයි උපකල්පනය කරමින් ගණනය කෙරේ දැනටමත් සිදුවී ඇත, ලෙස හැඳින්වේ කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව සිදුවීම සිදුවීම සහ එය මගින් දැක්වේ. ඒ සමගම, සිදුවීම් කැඳවනු ලැබේ යැපෙන සිදුවීම් (කෙසේ වෙතත්, දැඩි ලෙස කථා කිරීම, ඔවුන්ගෙන් එකක් පමණක් රඳා පවතී).
කාඩ්පත් අතේ:
කාර්යය 1
කාඩ්පත් 36 ක තට්ටුවකින්, කාඩ්පත් 2 ක් අඛණ්ඩව අඳිනු ලැබේ. පෙර නම් දෙවන කාඩ්පත හදවතක් වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) පණුවා ඉවත් කරන ලදී;
ආ) වෙනස් ඇඳුමක කාඩ්පතක් ඇද ගන්නා ලදී.
විසඳුමක්: සිද්ධිය සලකා බලන්න: - දෙවන කාඩ්පත හදවතක් වනු ඇත. මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ පණුවා කලින් ඇදගෙන ගියාද නැද්ද යන්න මත බව ඉතා පැහැදිලිය.
අ) හදවත මුලින්ම ඇද ගන්නා ලද්දේ නම් (සිදුවීම), පසුව කාඩ්පත් 35 ක් තට්ටුවේ ඉතිරිව ඇති අතර, ඒ අතර දැන් හෘද ඇඳුමේ කාඩ්පත් 8 ක් ඇත. විසින් සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීම:
කොන්දේසිය මතඊට කලින් පණුවත් අයින් කළා කියලා.
ආ) මුලදී වෙනත් ඇඳුමක කාඩ්පතක් ඇඳ තිබේ නම් (සිදුවීම), එවිට හදවත් 9ම තට්ටුවේ රැඳී සිටියහ. විසින් සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීම:
දෙවන කාඩ්පත හදවතක් වීමේ සම්භාවිතාවයි කොන්දේසිය මතමීට පෙර වෙනත් ඇඳුමක කාඩ්පතක් ඇඳ ඇති බව.
සෑම දෙයක්ම තාර්කිකයි - සම්පූර්ණ තට්ටුවකින් හදවත් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව නම් 
, පසුව ඊළඟ කාඩ්පත අඳින විට, එම සම්භාවිතාව වෙනස් වනු ඇත: පළමු අවස්ථාවේ දී, එය අඩු වනු ඇත 
(හෘදයන් අඩු නිසා), දෙවනුව එය වැඩි වනු ඇත: 
(සියලු හදවත් තට්ටුවේ රැඳී සිටි නිසා).
පිළිතුර:
යැපෙන සිදුවීම්, ඇත්ත වශයෙන්ම, වැඩි විය හැක. කාර්යය සිසිල් වී නොමැති අතර, අපි තවත් එක් දෙයක් එකතු කරමු: - තුන්වන කාඩ්පත පණුවා නිස්සාරණය කරනු ඇත. අපි උපකල්පනය කරමු සිද්ධිය සිදු වූ අතර, පසුව සිද්ධිය; එවිට හදවත් 7ක් ඇතුළුව කාඩ්පත් 34ක් තට්ටුවේ ඉතිරිව තිබුණි. විසින් සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීම:
- සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව කොන්දේසිය මතහදවත් දෙකක් කලින් උකහා ගත්තා කියලා.
ස්වයං පුහුණුව සඳහා:
කාර්යය 2
ලියුම් කවරයේ ජයග්‍රාහී ඒවා 3ක් ඇතුළුව ලොතරැයිපත් 10ක් අඩංගු වේ. ලියුම් කවරයෙන් ටිකට්පත් අනුපිළිවෙලින් ඉවත් කරනු ලැබේ. සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) පළමු එක ජයග්‍රාහී එකක් නම්, 2 වැනි දිනුම් ප්‍රවේශ පත්‍රය ජයග්‍රාහී එකක් වනු ඇත;
ආ) පෙර ප්‍රවේශපත්‍ර දෙක ජයග්රහණය කළේ නම් 3 වැනියා ජයග්රහණය කරනු ඇත;
ඇ) පෙර ප්‍රවේශපත්‍ර ජයග්රහණය කළේ නම් 4 වැනි එක දිනනු ඇත.
පාඩම අවසානයේ අදහස් සහිත කෙටි විසඳුම.
දැන් අපි මූලික වශයෙන් වැදගත් කරුණක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු: සලකා බැලූ උදාහරණ වලදී, කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාවන් පමණක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය විය. පෙර සිදුවීම් විශ්වාසදායක ලෙස සිදු වූ බව සලකනු ලැබේ. නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම, ඒවා ද අහඹු ය! එබැවින්, "උණුසුම් කරන ලද" කාර්යයකදී, සම්පූර්ණ තට්ටුවකින් හදවත් නිස්සාරණය කිරීම අහඹු සිදුවීමක් වන අතර, එහි සම්භාවිතාව සමාන වේ.
ප්රායෝගිකව, සම්භාවිතාව සොයා ගැනීමට බොහෝ විට අවශ්ය වේ ඒකාබද්ධ පෙනුමයැපෙන සිදුවීම්. උදාහරණයක් ලෙස, සම්පූර්ණ තට්ටුවකින් සමන්විත සිදුවීමක සම්භාවිතාව සොයා ගන්නේ කෙසේද වනු ඇතපණුවා නිස්සාරණය කර ඇත හාඑතකොට තවත් පණුවෙක්? මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර වේ
පරායත්ත සිදුවීම් සඳහා සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය: පළමු සිදුවීම දැනටමත් සිදුවී ඇතැයි උපකල්පනය කරමින්, පරායත්ත සිදුවීම් දෙකක ඒකාබද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව, අනෙකෙහි කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව මගින් ඉන් එකක සම්භාවිතාවේ ගුණිතයට සමාන වේ:
අපගේ නඩුවේදී:
- සම්පූර්ණ තට්ටුවකින් පේළියක හදවත් 2ක් ඇද ගැනීමේ සම්භාවිතාව.
ඒ හා සමානව:
වෙනස් ඇඳුමක කාඩ්පතක් මුලින්ම ඇද ගන්නා සම්භාවිතාවයි හාපසුව පණුවෙක්.
සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සිදුවීමේ සම්භාවිතාවට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි විය, එය සාමාන්යයෙන් කිසිදු ගණනය කිරීමකින් තොරව පැහැදිලි විය.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ලොතරැයි ටිකට් දහයක් සහිත ලියුම් කවරයකින් විශේෂ බලාපොරොත්තු තබා ගැනීමට අවශ්ය නැත. (කාර්යය 2)ඔබ ජයග්‍රාහී ප්‍රවේශපත්‍ර 3ක් එක පෙළට අඳින්න:
කෙසේ වෙතත්, මෙය තවමත් ත්යාගශීලී අවස්ථාවක්.
ඔව්, නියත වශයෙන්ම නිවැරදියි - පරායත්ත සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන් ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය ස්වභාවිකවම ඒවායින් වැඩි සංඛ්යාවක් දක්වා විහිදේ.
අපි සාමාන්ය උදාහරණ කිහිපයක් සමඟ ද්රව්ය සවි කරමු:
කාර්යය 3
බඳුනක සුදු බෝල 4 ක් සහ කළු බෝල 7 ක් අඩංගු වේ. බෝල දෙකක් නැවත ආපසු නොදී, එකින් එක, බඳුනෙන් අහඹු ලෙස ඇද ගනු ලැබේ. සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) බෝල දෙකම සුදු වනු ඇත;
ආ) බෝල දෙකම කළු වනු ඇත;
ඇ) පළමුව සුදු බෝලයක් අඳිනු ඇත, පසුව කළු එකක්.
"ඔවුන් ආපසු ලබා නොදීම" යන පැහැදිලි කිරීම සැලකිල්ලට ගන්න. සිදුවීම් රඳා පවතින බව මෙම ප්රකාශය තවදුරටත් ඉස්මතු කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ලබාගත් බෝල ආපසු ලබා දෙන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද? පසුගාමී නියැදීමේදී, කළු සහ සුදු බෝලයක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව වෙනස් නොවනු ඇත, එවැනි ගැටලුවකදී දැනටමත් මඟ පෙන්විය යුතුය. ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සඳහා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය.
විසඳුමක්: බඳුනේ මුළු: 4 + 7 = 11 බෝල. යන්න:
අ) සිදුවීම් සලකා බලන්න - පළමු පන්දුව සුදු වනු ඇත, - දෙවන පන්දුව සුදු වනු ඇත සහ 1 වන පන්දුව සුදු වනු ඇත යන කාරණයෙන් සමන්විත සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගන්න හා 2 වන සුදු.
සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීමට අනුව: . සුදු බෝලය ඇද ඇති බව උපකල්පනය කරන්න, එවිට බඳුනේ බෝල 10 ක් අඩංගු වේ, ඉන් 3 ක් සුදු ය, එබැවින්:
2 වන අත්හදා බැලීමේ දී සුදු බෝලයක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව, පෙර සුදු පන්දුවක් ඇද ගන්නා ලදී.
බෝල දෙකම සුදු වීමේ සම්භාවිතාවයි.
b) 1 වන පන්දුව කළු වීම යන කාරනයෙන් සමන්විත සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න හා 2 වන කළු
සම්භාව්ය නිර්වචනයට අනුව: - 1 වන අත්හදා බැලීමේ දී කළු බෝලයක් ඇද ගැනීමේ සම්භාවිතාව. කළු බෝලයක් පිටතට ගැනීමට ඉඩ දෙන්න, එවිට බෝල 10 ක් බඳුනේ පවතිනු ඇත, ඒ අතර 6 කළු ය, එබැවින්: 
2 වන අත්හදා බැලීමේ දී කළු බෝලයක් ඇදී යාමේ සම්භාවිතාව, පෙර කළු පන්දුවක් ඇද ගන්නා ලදී.
රඳා පවතින සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව: 
බෝල දෙකම කළු වීමේ සම්භාවිතාවයි.
ඇ) සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න (පළමුව, සුදු බෝලයක් නිස්සාරණය කරනු ලැබේ හාඑවිට කළු)
සුදු බෝලයක් ඇඳීමෙන් පසු (සම්භාවිතාව සමඟ) බෝල 10 ක් බඳුනේ පවතිනු ඇත, ඒ අතර 3 සුදු සහ 7 කළු ය, මේ අනුව: - 2 වන අත්හදා බැලීමේ දී කළු බෝලයක් ඇද ගැනීමේ සම්භාවිතාව, සුදු බෝලයක් තිබේ නම් කලින් ඇඳලා තිබුණා.
රඳා පවතින සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව: 
අපේක්ෂිත සම්භාවිතාව වේ.
පිළිතුර: 
මෙම ගැටළුව භාවිතයෙන් පහසුවෙන් තහවුරු කර ගත හැක සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සෑදීමේ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සඳහා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, 4 වන අතුරුදහන් වූ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව අපි සොයා ගනිමු: 
- කළු පන්දුව මුලින්ම ඇද ගන්නා බව හාපසුව සුදු.
සංවර්ධන 
සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සාදන්න, එබැවින් ඔවුන්ගේ සම්භාවිතා එකතුව එකකට සමාන විය යුතුය:
, සත්‍යාපනය කළ යුතු විය.
ඉදිරිපත් කරන ලද තොරතුරු ඔබ කෙතරම් හොඳින් ඉගෙන ගෙන ඇත්දැයි පරීක්ෂා කිරීමට මම වහාම යෝජනා කරමි:
කාර්යය 4
කාඩ්පත් 36 කින් සමන්විත තට්ටුවකින් පේළියක ඒස් දෙකක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
කාර්යය 5
බඳුනක කළු, රතු සහ සුදු බෝල 6 ක් අඩංගු වේ. බෝල තුනක් අනුපිළිවෙලින් ඇද ඇත. ඒ සම්භාවිතාව සොයන්න
අ) පෙර කළු සහ රතු බෝලයක් ඇද ඇත්නම් තුන්වන පන්දුව සුදු වනු ඇත;
b) පළමු පන්දුව කළු වනු ඇත, දෙවන - රතු සහ තෙවන - සුදු.
පාඩම අවසානයේ විසඳුම් සහ පිළිතුරු.
සලකා බලනු ලබන බොහෝ ගැටලු වෙනත් ආකාරයකින් විසඳිය හැකි බව පැවසිය යුතුය, නමුත් ව්යාකූලත්වය වළක්වා ගැනීම සඳහා, සමහර විට මම ඒ ගැන සම්පූර්ණයෙන්ම නිහඬව සිටිමි.
යම් ක්රියා දාමයක් සිදු කරන විට යැපෙන සිදුවීම් සිදුවන බව බොහෝ විට සෑම දෙනාම දැක ඇත. කෙසේ වෙතත්, ක්රියා අනුපිළිවෙල විසින්ම සිදුවීම් වල යැපීම සහතික නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, ශිෂ්‍යයෙකු කිසියම් පරීක්ෂණයක ප්‍රශ්නවලට අහඹු ලෙස පිළිතුරු දෙමු - මෙම සිදුවීම් එකින් එක සිදු වුවද, එක් ප්‍රශ්නයකට පිළිතුර නොදැනීම කිසිසේත් වෙනත් පිළිතුරු නොදැනීම මත රඳා පවතී =) ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි රටා ඇතත් =) එවිට එය සම්පූර්ණයෙන්ම සරල උදාහරණයක් ලෙස කාසියක් නැවත නැවතත් විසි කිරීම - මෙම සිත් ඇදගන්නා ක්රියාවලිය පවා හැඳින්වේ: නැවත නැවතත් INDEPENDENT පරීක්ෂණ.
මම මේ මොහොත ප්‍රමාද කිරීමට සහ විවිධ උදාහරණ ලබා ගැනීමට මගේ උපරිමය කළෙමි, නමුත් කාර්යයන් ක්රියාත්මක නම් ස්වාධීන සිදුවීම් ගුණ කිරීමේ ප්රමේයයවෙඩික්කරුවන් භාරව සිටී, එවිට මෙහි බෝල සහිත භාජනවල සැබෑ ආක්‍රමණයක් තිබේ =) එබැවින්, යාමට තැනක් නැත - නැවතත් බඳුන:
කාර්යය 6
සුදු බෝල 6 ක් සහ කළු බෝල 4 ක් අඩංගු බඳුනකින් බෝල තුනක් අහඹු ලෙස එකින් එක අඳිනු ලැබේ. සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) බෝල තුනම කළු වනු ඇත;
b) අවම වශයෙන් කළු බෝල දෙකක්වත් ඇත.
විසඳුමක්:total: 6 + 4 = 10 බෝල වල.
මෙම ගැටලුවේ බොහෝ සිදුවීම් පවතිනු ඇති අතර, මේ සම්බන්ධයෙන්, කැපිටල් ලතින් අක්ෂරවල ප්‍රධාන සිදුවීම් පමණක් සඳහන් කරමින් මිශ්‍ර නිර්මාණ විලාසයක් භාවිතා කිරීම වඩාත් සුදුසු ය. කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාවන් ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.
අ) සිදුවීම සලකා බලන්න: - බෝල තුනම කළු වනු ඇත.
රඳා පවතින සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව: 
b) දෙවන කරුණ වඩාත් සිත්ගන්නා සුළුය, සිද්ධිය සලකා බලන්න: - අවම වශයෙන් කළු බෝල දෙකක්වත් ඇත. මෙම සිදුවීම නොගැලපෙන ප්රතිඵල 2 කින් සමන්විත වේ: එක්කෝ සියලුම බෝල කළු (සිද්ධිය) හෝ බෝල 2 ක් කළු සහ 1 සුදු - අපි ලිපියෙන් අවසාන සිදුවීම දක්වමු.
සිදුවීමට නොගැලපෙන ප්රතිඵල 3ක් ඇතුළත් වේ:
පළමු පරීක්ෂණයේදී සුදු පැහැය උපුටා ගන්නා ලදී හා 2 හි හා 3 වන පරීක්ෂණයේදී - කළු බෝල
හෝ
හා 2 වන - BS හා 3 වන - CHS
හෝ
1 වන අත්හදා බැලීමේදී, SN උපුටා ගන්නා ලදී හා 2 වන - CHS හා 3 වන - BSh.
කැමති අයට වඩාත් දුෂ්කර උදාහරණ සමඟ හුරුපුරුදු විය හැකිය Chudesenko එකතුව, එහි බෝල කිහිපයක් මාරු කරනු ලැබේ. විශේෂ ආධුනිකයන් සඳහා, මම සංයෝජන සංකීර්ණතාව වැඩි කිරීමේ ගැටළු ඉදිරිපත් කරමි - 1 සිට 2 වන උණ්ඩය දක්වා, 2 සිට 3 දක්වා සහ අවසාන භාජනයෙන් පන්දුව නිස්සාරණය කිරීම සඳහා අනුක්‍රමික චලනයන් දෙකක් සමඟ - අවසාන කාර්යයන් බලන්න. ගොනුව සම්භාවිතාව එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම පිළිබඳ සිද්ධාන්ත පිළිබඳ අතිරේක කාර්යයන්. මාර්ගය වන විට, තවත් බොහෝ රසවත් කාර්යයන් තිබේ.
මෙම ලිපියේ අවසානයේ, පළමු පාඩමේදීම මා ඔබව ආකර්ෂණය කළ වඩාත්ම කුතුහලය දනවන කාර්යය අපි විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු =) අපි එය විශ්ලේෂණය කරන්නේවත් නැත, නමුත් අපි කුඩා ප්‍රායෝගික පර්යේෂණයක් සිදු කරන්නෙමු. සාමාන්ය ස්වරූපයෙන් ගණනය කිරීම් ඉතා අපහසු වනු ඇත, එබැවින් අපි නිශ්චිත උදාහරණයක් සලකා බලමු:
Petya සම්භාවිතා න්යාය පිළිබඳ විභාගයක් පවත්වන අතර ඔහු ප්‍රවේශපත්‍ර 20 ක් හොඳින් දන්නා අතර නරක ලෙස 10 ක් දනී. පළමු දිනයේදී, කණ්ඩායමේ කොටසක් විභාගය සමත් වේ යැයි සිතමු, උදාහරණයක් ලෙස, අපේ වීරයා ඇතුළු 16 දෙනෙක්. පොදුවේ ගත් කල, තත්වය වේදනාකාරී ලෙස හුරුපුරුදු ය: සිසුන් එකින් එක ශ්‍රවණාගාරයට ඇතුළු වී ටිකට් පත් අදින්න.
පැහැදිලිවම, ටිකට්පත් අනුක්‍රමික නිස්සාරණය රඳා පවතින සිදුවීම් දාමයක් වන අතර හදිසි අවශ්‍යතාවයක් ඇත ප්රශ්නය: පෙටියා "හොඳ" ටිකට් පතක් ලබා ගැනීමට වැඩි ඉඩක් ඇත්තේ කුමන අවස්ථාවකද - ඔහු "ඉදිරි පේළිවල" ගියහොත්, හෝ ඔහු "මැදට" ගියහොත්, හෝ ඔහු අන්තිම අය අතර ටිකට් එක ඇදගෙන ගියහොත්? සංචාරය කිරීමට හොඳම කාලය කවදාද?
පළමුව, පෙටියා ඔහුගේ අවස්ථා නියතව තබා ගන්නා "පර්යේෂණාත්මකව පිරිසිදු" තත්වයක් සලකා බලමු - ඔහුගේ පන්තියේ මිතුරන්ට දැනටමත් ලැබී ඇති ප්‍රශ්න මොනවාද යන්න පිළිබඳ තොරතුරු ඔහුට නොලැබේ, ඔහු කොරිඩෝවේ කිසිවක් ඉගෙන නොගනී, ඔහුගේ වාරය එනතුරු බලා සිටීම යනාදිය.
පහත සිදුවීම සලකා බලන්න: - ශ්‍රවණාගාරයට ඇතුළු වී “හොඳ” ටිකට් පතක් අඳින පළමු පුද්ගලයා පෙටියා වනු ඇත. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය නිර්වචනයට අනුව: 
.
විශිෂ්ට ශිෂ්‍යයෙකු වන නස්තා ඉදිරියෙන් මඟ හැරියහොත් සාර්ථක ටිකට් පතක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වෙනස් වන්නේ කෙසේද? මෙම අවස්ථාවේ දී, නොගැලපෙන උපකල්පන දෙකක් හැකි ය:
- Nastya "හොඳ" (Petya සඳහා) ටිකට් පතක් අඳිනු ඇත;
- Nastya "නරක" ටිකට් එකක් ඇද දමනු ඇත, i.e. Petya ගේ අවස්ථා වැඩි කරනු ඇත.
සිදුවීම (පීටර් දෙවනුව ඇතුල් වන අතර "හොඳ" ටිකට් පතක් අඳින්න) බවට පත් වේ යැපෙන.
1) Nastya සම්භාවිතාව සහිත යැයි සිතමු 
Petya වෙතින් එක් වාසනාවන්ත ටිකට් එකක් "සොරකම්". එවිට ප්‍රවේශපත්‍ර 29ක් මේසය මත පවතිනු ඇති අතර ඉන් 19ක් “හොඳයි”. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය නිර්වචනයට අනුව:
2) දැන් හිතමු Nastya සම්භාවිතාව ඇති කියලා 
1 වන "නරක" ටිකට් එකෙන් පෙටියා "ගලවා ගත්තා". එවිට ටිකට්පත් 29 ක් මේසය මත පවතිනු ඇත, ඒ අතර තවමත් "හොඳ" 20 ක් ඇත. සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීමට අනුව:
නොගැලපෙන සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ සහ යැපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්‍රමේයයන් භාවිතා කරමින්, පේළියේ දෙවනුව පෙටියා “හොඳ” ටිකට් පතක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව අපි ගණනය කරමු:
සම්භාවිතාව... එලෙසම පවතී! හොඳයි, අපි සිදුවීම සලකා බලමු: - පෙටියා තුන්වන ස්ථානයට යයි, නස්තාට සහ ලීනාට ඉදිරියට යාමට ඉඩ දී "හොඳ" ටිකට් පතක් ලබා ගනී.
මෙහි තවත් උපකල්පන පවතිනු ඇත: කාන්තාවන්ට හොඳ ප්‍රවේශපත්‍ර 2ක් සඳහා මහත්මයෙකු "කොල්ලකෑමට" හැකිය, නැතහොත් අනෙක් අතට - නරක ඒවා 2 කින් ඔහුව බේරා ගැනීමට හෝ 1 "හොඳ" සහ "නරක" ටිකට් 1ක් උපුටා ගත හැකිය. අපි සමාන තර්ක ඉදිරිපත් කරන්නේ නම්, එකම ප්‍රමේය භාවිතා කරන්න, එවිට ... අපට ලැබෙන්නේ එකම සම්භාවිතා අගයයි !
මේ අනුව, තනිකරම ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, කුමන වේලාවක යා යුතුද යන්න - ආරම්භක සම්භාවිතාව නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත. නමුත්. මෙය සාමාන්ය න්‍යායික ඇස්තමේන්තුවක් පමණි, එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, පෙටියා අන්තිමට ගියහොත්, ඔහුගේ ආරම්භක අවස්ථාවන්ට අනුකූලව තෝරා ගැනීමට “හොඳ” සහ “නරක” ටිකට්පත් 5 ක් ඔහුට ඇති බව මින් අදහස් නොවේ. මෙම අනුපාතය වඩා හොඳ හෝ නරක ලෙස වෙනස් විය හැකිය, නමුත් ප්‍රවේශ පත්‍ර අතර “එක් නොමිලයේ” හෝ අනෙක් අතට - “ඝන භීෂණය” තවමත් පවතිනු ඇතැයි සිතිය නොහැක. "අද්විතීය" අවස්ථා බැහැර නොකළද - සියල්ලට පසු, විශාල ජයග්‍රහණයක ශුන්‍ය සම්භාවිතාවක් සහිත ලොතරැයි ටිකට් මිලියන 3 ක් නොමැත. එබැවින්, "ඇදහිය නොහැකි වාසනාව" හෝ "නපුරු ඉරණම" අතිශයෝක්තියෙන් යුත් ප්රකාශයන් වනු ඇත. පෙටියා දන්නේ ටිකට්පත් 30 න් 3 ක් පමණක් වුවද, ඔහුගේ අවස්ථා 10% වන අතර එය ශුන්‍යයට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි ය. පුද්ගලික අත්දැකීම් වලින් මම ඔබට ප්රතිවිරුද්ධ අවස්ථාව කියමි: විභාගයේදී විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියමම ප්‍රශ්න 28 න් 24 ක් හොඳින් දැන සිටි අතර - ටිකට් පතේ මට “නරක” ප්‍රශ්න දෙකක් හමු විය; මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව ඔබම ගණනය කරන්න :)
ගණිතය සහ "පිරිසිදු අත්හදා බැලීම" හොඳයි, නමුත් කුමන උපාය සහ උපක්‍රම අනුගමනය කිරීමට තවමත් වඩා ලාභදායී වේ සැබෑ තත්වයන් තුළ? ඇත්ත වශයෙන්ම, ආත්මීය සාධක සැලකිල්ලට ගත යුතුය, නිදසුනක් ලෙස, "නිර්භීත" සඳහා ගුරුවරයාගේ "වට්ටම්" හෝ විභාගය අවසන් වන විට ඔහුගේ තෙහෙට්ටුව. බොහෝ විට මෙම සාධක තීරණාත්මක විය හැකිය, නමුත් අවසාන සාකච්ඡාවේදී මම අතිරේක සම්භාවිතා අංශ වට්ටම් නොකිරීමට උත්සාහ කරමි:
ඔබ විභාගයට හොඳින් සූදානම් නම්, "ඉදිරියෙන්" යාම වඩා හොඳය. ප්‍රවේශපත්‍ර සම්පුර්ණ කර ඇති අතර, උපකල්පනය " විය නොහැකි සිදුවීම් සිදු නොවේඔබ වෙනුවෙන් වැඩිපුර වැඩ කරයි. "ප්‍රවේශපත්‍ර 15ක්, ඉන් 2ක් නරකයි" ට වඩා "ප්‍රවේශපත්‍ර 30ක්, ඉන් 2ක් නරක" අනුපාතයක් තිබීම වඩාත් ප්‍රසන්න බව එකඟ වන්න. ඒ වගේම අසාර්ථක ප්‍රවේශපත්‍ර දෙකක් තනි විභාගයක් මත (සාමාන්ය න්‍යායික ඇස්තමේන්තුවට අනුව නොවේ!) එබැවින් ඔවුන් මේසය මත පවතිනු ඇත - එය තරමක් හා තරමක් හැකි ය.
දැන් "පෙටියාගේ තත්වය" සලකා බලන්න - ශිෂ්‍යයා විභාගයට හොඳින් සූදානම් වූ විට, නමුත් අනෙක් අතට, ඔහු "පාවෙන" ද නරක නැත. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, "නොදන්නාට වඩා වැඩි යමක් දනී." මෙම අවස්ථාවේ දී, 5-6 දෙනෙකුට ඉදිරියට යාමට ඉඩ දීම සහ ප්‍රේක්ෂකාගාරයෙන් පිටත නියම මොහොත එනතෙක් බලා සිටීම සුදුසුය. තත්වය අනුව කටයුතු කරන්න. ඉතා ඉක්මනින්, පන්තියේ මිතුරන් විසින් ප්‍රවේශ පත්‍ර අඳින ලද තොරතුරු පැමිණීමට පටන් ගනී (නැවත යැපෙන සිදුවීම්!) , සහ ඔබට තවදුරටත් “අතිරික්ත” ප්‍රශ්න සඳහා ශක්තිය නාස්ති කළ නොහැක - වෙනත් ප්‍රවේශපත්‍ර ඉගෙන ගෙන නැවත නැවත කරන්න, එමඟින් ඔබේ සාර්ථකත්වයේ ආරම්භක සම්භාවිතාව වැඩි කරන්න. “පළමු කණ්ඩායම” පරීක්ෂකයින් එකවර දුෂ්කර (ඔබට පුද්ගලිකව) ටිකට්පත් 3-4 කින් ඔබව “ගලවා” ගත්තේ නම්, හැකි ඉක්මනින් විභාගයට පැමිණීම වඩා ලාභදායී වේ - මේ වන විට අවස්ථා සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි වී ඇත. මොහොත අතපසු නොකිරීමට උත්සාහ කරන්න - කිහිප දෙනෙකු පමණක් ඉදිරියට ගිය අතර, වාසිය දිය වී යාමට ඉඩ ඇත. ඊට පටහැනිව, "නරක" ටිකට් කිහිපයක් තිබේ නම්, රැඳී සිටින්න. කිහිප දෙනෙකුට පසු, මෙම “විෂමතාව” නැවතත් බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත, එය අතුරුදහන් නොවන්නේ නම්, එය වඩා හොඳ සඳහා සුමට වනු ඇත. “සාමාන්ය” සහ වඩාත් පොදු අවස්ථාවෙහිදී, ප්‍රතිලාභයක් ද ඇත: “ප්‍රවේශපත්‍ර 24 / නරක 8” පිරිසැලසුම “ප්‍රවේශපත්‍ර 30 / නරක 10” අනුපාතයට වඩා හොඳ වනු ඇත. මන්ද? දුෂ්කර ටිකට් පත් දැන් දහය නොව අටයි! දෙගුණයක් ශක්තියෙන් අපි ද්රව්යය අධ්යයනය කරමු!
ඔබ නරක හෝ කුමක් වුවත් සූදානම් නම්, ඇත්ත වශයෙන්ම, "අවසන් පේළි" තුළට යාම වඩා හොඳය. (මුල් විසඳුම් ද හැකි වුවද, විශේෂයෙන් නැති වීමට කිසිවක් නොමැති නම්). කුඩා නමුත් තවමත් ශුන්‍ය නොවන සම්භාවිතාවක් ඇත, ඔබට සාපේක්ෂව සරල ප්‍රශ්න + අමතර කැක්කුම + පසුපසට වෙඩි තැබූ සෙසු සිසුන් විසින් ලබා දෙන ස්පර්ස් =) සහ, ඔව් - ඉතා තීරණාත්මක තත්වයක් තුළ ඊළඟ දවසේ තවමත් පවතී කණ්ඩායමේ දෙවන කොටස විභාගය පවත්වන විට ;-)
සම්භාවිතාව එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම පිළිබඳ සිද්ධාන්ත.
යැපෙන සහ ස්වාධීන සිදුවීම්
මාතෘකාව භයානක ලෙස පෙනේ, නමුත් එය ඇත්තෙන්ම ඉතා සරල ය. මෙම පාඩමේදී, සිදුවීම් සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම පිළිබඳ ප්‍රමේයයන් පිළිබඳව අපි දැන හඳුනා ගනිමු, එසේම සාමාන්ය කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය නිර්වචනය සඳහා කාර්යයනියත වශයෙන්ම මුණගැසෙනු ඇත, නැතහොත්, බොහෝ විට, ඔබගේ මාර්ගයේ දැනටමත් හමු වී ඇත. මෙම ලිපියේ ද්රව්ය ඵලදායී ලෙස අධ්යයනය කිරීම සඳහා, ඔබ මූලික නියමයන් දැන ගැනීමට සහ තේරුම් ගත යුතුය සම්භාවිතා න්යායසහ සරල ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට හැකි වේ. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඉතා සුළු ප්රමාණයක් අවශ්ය වන අතර, එම නිසා වත්කමේ මේදය එකතු කිරීම පාහේ සහතික කර ඇත. නමුත් අනෙක් අතට, ප්‍රායෝගික උදාහරණ සඳහා මතුපිට ආකල්පයකට එරෙහිව මම නැවතත් අනතුරු අඟවන්නෙමි - ප්‍රමාණවත් තරම් සියුම්කම් ද ඇත. වාසනාව:
නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සඳහා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය: දෙකෙන් එකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නොගැලපෙනසිදුවීම් හෝ (මොනව උනත් කමක් නෑ), මෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතුවට සමාන වේ:
සමාන කරුණක් නොගැලපෙන සිදුවීම් විශාල සංඛ්යාවක් සඳහා ද සත්‍ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස, නොගැලපෙන සිදුවීම් තුනක් සඳහා සහ:
සිහින ප්රමේයය =) කෙසේ වෙතත්, එවැනි සිහිනයක් ඔප්පු කිරීමට යටත් වේ, උදාහරණයක් ලෙස, V.E විසින් පෙළපොතෙහි සොයාගත හැකිය. Gmurman.
නව, මෙතෙක් නොදුටු සංකල්ප සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු:
යැපෙන සහ ස්වාධීන සිදුවීම්
ස්වාධීන සිදුවීම් වලින් පටන් ගනිමු. සිදුවීම් වේ ස්වාධීන සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නම් ඔවුන්ගෙන් ඕනෑම එකක් රඳා නොපවතීසලකා බලන ලද කට්ටලයේ අනෙකුත් සිදුවීම්වල පෙනුම / නොපැමිණීමෙන් (හැකි සියලු සංයෝජනවල). ... නමුත් පොදු වාක්‍ය ඛණ්ඩ ඇඹරීමට ඇත්තේ කුමක්ද:
ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය: ස්වාධීන සිදුවීම්වල ඒකාබද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සහ මෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ:
1 වන පාඩමේ සරලම උදාහරණය වෙත ආපසු යමු, එහි කාසි දෙකක් විසි කරන ලද සහ පහත සිදුවීම්:
- හිස් 1 වන කාසිය මත වැටෙනු ඇත;
- 2 වන කාසියේ හිස.
සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයා බලමු (1 වන කාසියේ හිස් දිස්වනු ඇත හාරාජාලියා 2 වන කාසිය මත දිස්වනු ඇත - කියවන ආකාරය මතක තබා ගන්න සිදුවීම්වල නිෂ්පාදනයක්!)
. එක් කාසියක් මත හිස් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව තවත් කාසියක් විසි කිරීමේ ප්රතිඵලය මත රඳා නොපවතී, එබැවින් සිදුවීම් සහ ස්වාධීන වේ. 
ඒ හා සමානව: 
1 වන කාසිය ප්රධානීන් ගොඩබෑමේ සම්භාවිතාවයි හා 2 වන වලිගය මත; 
1 වන කාසියේ හිස් පෙනීමේ සම්භාවිතාව වේ හා 2 වන වලිගය මත; 
1 වන කාසිය වලිගය මත පතිත වීමේ සම්භාවිතාව වේ හා 2 වන රාජාලියා මත.
සිදුවීම් සෑදෙන බව සලකන්න සම්පූර්ණ කණ්ඩායමසහ ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුව එකකට සමාන වේ: .
ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය පැහැදිලිවම ස්වාධීන සිදුවීම් විශාල සංඛ්යාවක් දක්වා විහිදේ, එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, සිදුවීම් ස්වාධීන නම්, ඒවායේ ඒකාබද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව: . නිශ්චිත උදාහරණ සමඟ පුහුණු වෙමු:
කාර්යය 3
සෑම පෙට්ටි තුනකම කොටස් 10 ක් අඩංගු වේ. පළමු පෙට්ටියේ සම්මත කොටස් 8 ක් ඇත, දෙවන - 7, තුන්වන - 9. එක් එක් කොටුවකින් එක් කොටසක් අහඹු ලෙස ඉවත් කරනු ලැබේ. සියලුම කොටස් සම්මත වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුමක්: ඕනෑම පෙට්ටියකින් සම්මත හෝ සම්මත නොවන කොටසක් නිස්සාරණය කිරීමේ සම්භාවිතාව වෙනත් පෙට්ටිවලින් උපුටා ගන්නේ කුමන කොටස් මතද යන්න මත රඳා නොපවතී, එබැවින් ගැටළුව ස්වාධීන සිදුවීම් වේ. පහත ස්වාධීන සිදුවීම් සලකා බලන්න:
- 1 වන කොටුවෙන් සම්මත කොටසක් ඉවත් කරනු ලැබේ;
- 2 වන කොටුවෙන් සම්මත කොටසක් ඉවත් කරනු ලැබේ;
- 3 වන ලාච්චුවෙන් සම්මත කොටසක් ඉවත් කර ඇත.
සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීමට අනුව:
අනුරූප සම්භාවිතාවන් වේ.
අපි උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීම (සම්මත කොටස 1 වන ලාච්චුවෙන් ගනු ලැබේ හා 2 වන ප්‍රමිතියෙන් හා 3 වන පන්තියේ සිට)නිෂ්පාදනයෙන් ප්‍රකාශ වේ.
ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
පෙට්ටි තුනකින් එක් සම්මත කොටසක් උකහා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වේ.
පිළිතුර: 0,504
පෙට්ටි සමඟ ප්‍රබෝධමත් කිරීමේ ව්‍යායාම කිරීමෙන් පසු, අඩු රසවත් භාජන අප බලා සිටින්නේ නැත:
කාර්යය 4
බඳුන් තුනක සුදු බෝල 6 ක් සහ කළු බෝල 4 ක් අඩංගු වේ. සෑම බඳුනකින්ම අහඹු ලෙස එක් බෝලයක් ඇද ගනු ලැබේ. සම්භාවිතාව සොයන්න: a) බෝල තුනම සුදු වනු ඇත; b) බෝල තුනම එකම වර්ණයක් වනු ඇත.
ලැබුණු තොරතුරු මත පදනම්ව, "be" අයිතමය සමඟ කටයුතු කරන්නේ කෙසේදැයි අනුමාන කරන්න ;-) ආසන්න නියැදි විසඳුමක් සියලු සිදුවීම් පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක විස්තරයක් සහිත ශාස්ත්රීය ශෛලියකින් නිර්මාණය කර ඇත.
යැපෙන සිදුවීම්. උත්සවය හඳුන්වනු ලැබේ යැපෙන එහි සම්භාවිතාව නම් රඳා පවතීදැනටමත් සිදුවී ඇති සිදුවීම් එකකින් හෝ කිහිපයකින්. උදාහරණ සඳහා ඔබට බොහෝ දුර යා යුතු නැත - ළඟම ඇති වෙළඳසැලට යන්න:
- හෙට 19.00 නැවුම් පාන් විකිණීමට ඇත.
මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වෙනත් බොහෝ සිදුවීම් මත රඳා පවතී: නැවුම් පාන් හෙට ලබා දෙන්නේද, එය සවස 7 ට පෙර විකුණනු ලැබේද නැද්ද යන්න යනාදිය. විවිධ තත්වයන් මත පදනම්ව, මෙම සිදුවීම විශ්වසනීය හා කළ නොහැකි විය හැකිය. ඉතින් සිද්ධිය යැපෙන.
පාන් ... සහ, රෝමවරුන් ඉල්ලා සිටි පරිදි, සර්කස්:
- විභාගයේදී, ශිෂ්යයාට සරල ටිකට් පතක් ලැබෙනු ඇත.
ඔබ පළමු වරට නොයන්නේ නම්, සිදුවීම රඳා පවතිනු ඇත, මන්ද එහි සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ පන්තියේ මිතුරන් දැනටමත් ඇඳ ඇති ටිකට්පත් මත ය.
සිදුවීම්වල යැපීම / ස්වාධීනත්වය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?
සමහර විට මෙය ගැටලුවේ තත්වය තුළ කෙලින්ම ප්‍රකාශ කර ඇත, නමුත් බොහෝ විට ඔබට ස්වාධීන විශ්ලේෂණයක් පැවැත්විය යුතුය. මෙහි නොපැහැදිලි මාර්ගෝපදේශයක් නොමැති අතර, සිදුවීම්වල යැපීම හෝ ස්වාධීනත්වය ස්වභාවික තාර්කික තර්කයෙන් අනුගමනය කරයි.
සියල්ල එක ගොඩකට විසි නොකිරීමට, යැපෙන සිදුවීම් සඳහා කාර්යයන්මම ඊළඟ පාඩම ඉස්මතු කරන්නම්, නමුත් දැනට අපි ප්රායෝගිකව වඩාත් පොදු ප්‍රමේය පොකුරක් සලකා බලමු:
නොගැලපෙන සම්භාවිතාවන් සඳහා එකතු කිරීමේ ප්‍රමේය පිළිබඳ ගැටළු
සහ ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීම
මෙම ටැන්ඩම්, මගේ ආත්මීය තක්සේරුව අනුව, සලකා බලනු ලබන මාතෘකාව පිළිබඳ කාර්යයන් 80% ක් පමණ ක්රියා කරයි. පහරවල්වල පහරක් සහ සම්භාවිතා න්‍යායේ සැබෑ සම්භාව්‍යයක්:
කාර්යය 5
වෙඩික්කරුවන් දෙදෙනෙක් ඉලක්කයට එක් වෙඩි පහර බැගින් එල්ල කළහ. පළමු වෙඩික්කරුට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.8, දෙවන - 0.6. සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) ඉලක්කයට පහර දෙන්නේ එක් වෙඩික්කරුවෙකු පමණි;
ආ) අවම වශයෙන් එක් වෙඩික්කරුවෙකු ඉලක්කයට පහර දෙනු ඇත.
විසඳුමක්: එක් වෙඩික්කරුවෙකුගේ පහර/මිස් සම්භාවිතාව පැහැදිලිවම අනෙක් වෙඩික්කරුගේ ක්‍රියාකාරිත්වයෙන් ස්වාධීන වේ.
සිදුවීම් සලකා බලන්න:
- 1 වන වෙඩික්කරු ඉලක්කයට පහර දෙනු ඇත;
- 2 වන වෙඩික්කරු ඉලක්කයට පහර දෙනු ඇත.
කොන්දේසිය අනුව:.
ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සොයා ගනිමු - අනුරූප ඊතල මඟ හැරෙනු ඇත: 
අ) සිදුවීම සලකා බලන්න: - ඉලක්කයට පහර දෙන්නේ එක් වෙඩික්කරුවෙකු පමණි. මෙම සිදුවීම නොගැලපෙන ප්රතිඵල දෙකකින් සමන්විත වේ:
පළමු වෙඩික්කරු පහර දෙනු ඇත හා 2 වන අතපසුවීම්
හෝ
1 වෙනිදා මග හැරෙනු ඇත හා 2 වෙනියට වදියි.
දිව මත සිදුවීම් වීජ ගණිතයමෙම කරුණ මෙසේ ලිවිය හැක. 
පළමුව, අපි නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය භාවිතා කරමු, පසුව - ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන් ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය:
එක් පහරක් පමණක් ඇති වීමේ සම්භාවිතාවයි.
ආ) සිදුවීම සලකා බලන්න: - අවම වශයෙන් එක් වෙඩික්කරුවෙකු ඉලක්කයට පහර දෙනු ඇත.
පළමුවෙන්ම, අපි සිතමු - "අවම වශයෙන් එකක්" යන කොන්දේසියෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙයින් අදහස් කරන්නේ 1 වන වෙඩික්කරු පහර දෙනු ඇති බවයි (දෙවන වෙඩික්කරුවා මග හැරෙනු ඇත) හෝ 2 වන (1 වන අතපසුවීම්) හෝඊතල දෙකම එකවර - නොගැලපෙන ප්රතිඵල 3 ක්.
ක්රමය එක: පෙර අයිතමයේ සකස් කළ සම්භාවිතාව ලබා දී ඇති අතර, පහත දැක්වෙන අසම්බන්ධ සිදුවීම්වල එකතුව ලෙස සිදුවීම නිරූපණය කිරීම පහසුය:
කෙනෙකුට ලැබෙනු ඇත (නොගැලපෙන ප්රතිඵල 2කින් සමන්විත සිදුවීමක්) හෝ
ඊතල දෙකම වැදුනේ නම්, අපි මෙම සිදුවීම ලිපියෙන් දක්වන්නෙමු.
මේ ක්රමයෙන්:
ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
1 වන වෙඩික්කරු පහර දෙන සම්භාවිතාව වේ හාදෙවන වෙඩික්කරු පහර දෙනු ඇත.
නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
ඉලක්කයට අවම වශයෙන් එක් පහරක සම්භාවිතාව වේ.
දෙවන ක්රමය: ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම සලකා බලන්න: - වෙඩික්කරුවන් දෙදෙනාම මග හැරෙනු ඇත.
ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්:
දෙවන ක්රමයට විශේෂ අවධානය යොමු කරන්න - සාමාන්යයෙන් එය වඩාත් තාර්කික ය.
මීට අමතරව, ඉහත නිශ්ශබ්දව පැවති ඒකාබද්ධ සිදුවීම් සාරාංශ කිරීමේ ප්රමේයය මත පදනම්ව, විකල්ප, තුන්වන විසඳුමක් ඇත.
! ඔබ පළමු වරට තොරතුරු කියවන්නේ නම්, ව්යාකූලත්වය වළක්වා ගැනීම සඳහා, ඊළඟ ඡේදය මඟ හැරීම වඩා හොඳය.
තුන්වන ක්රමය
: සිදුවීම් ඒකාබද්ධ වේ, එයින් අදහස් වන්නේ ඒවායේ එකතුව "අවම වශයෙන් එක් වෙඩික්කරුවෙකු ඉලක්කයට පහර දෙයි" යන සිදුවීම ප්‍රකාශ කරන බවයි (රූපය 1 බලන්න. සිදුවීම් වීජ ගණිතය) විසින් ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයයසහ ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය:
අපි පරීක්ෂා කරමු: සිදුවීම් සහ (පිළිවෙලින් 0, 1 සහ 2 පහර)සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සාදන්න, එබැවින් ඔවුන්ගේ සම්භාවිතා එකතුව එකකට සමාන විය යුතුය:
, සත්‍යාපනය කළ යුතු විය.
පිළිතුර: 
සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්යාය හොඳින් අධ්යයනය කිරීමෙන්, ඔබට මිලිටරි අන්තර්ගතයේ කාර්යයන් දුසිම් ගණනක් හමුවනු ඇත, සහ සාමාන්ය දෙයක් වන අතර, ඉන් පසුව ඔබට කිසිවෙකුට වෙඩි තැබීමට අවශ්ය නොවනු ඇත - කාර්යයන් පාහේ තෑග්ගකි. අච්චුව තවත් සරල නොකරන්නේ මන්ද? අපි ඇතුල්වීම කෙටි කරමු:
විසඳුමක්: කොන්දේසිය අනුව: , යනු අනුරූප වෙඩික්කරුවන්ට පහර දීමේ සම්භාවිතාවයි. එවිට ඔවුන්ගේ මඟ හැරීමේ සම්භාවිතාවන් වන්නේ: 
අ) නොගැලපෙන සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීම පිළිබඳ සිද්ධාන්ත අනුව:
එක් වෙඩික්කරුවෙකු පමණක් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව වේ.
ආ) ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
වෙඩික්කරුවන් දෙදෙනාටම මග හැරීමේ සම්භාවිතාව වේ.
එවිට: අවම වශයෙන් එක් වෙඩික්කරුවෙකු ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව වේ.
පිළිතුර: 
ප්රායෝගිකව, ඔබට ඕනෑම නිර්මාණ විකල්පයක් භාවිතා කළ හැකිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, බොහෝ විට ඔවුන් කෙටි මාර්ගයේ ගමන් කරයි, නමුත් 1 වන ක්රමය අමතක නොකළ යුතුය - එය දිගු වුවද, එය වඩාත් අර්ථවත් වේ - එය එහි පැහැදිලිය, කුමක්ද, ඇයි සහ ඇයිඑකතු කර ගුණ කරයි. සමහර අවස්ථා වලදී, දෙමුහුන් ශෛලියක් සුදුසු වේ, එය විශාල අකුරු වලින් සමහර සිදුවීම් පමණක් දැක්වීමට පහසු වේ.
ස්වාධීන විසඳුම සඳහා සමාන කාර්යයන්:
කාර්යය 6
ගිනි අනතුරු ඇඟවීම සඳහා ස්වාධීනව ක්රියාත්මක වන සංවේදක දෙකක් ස්ථාපනය කර ඇත. ගින්නක් අතරතුර සංවේදකය ක්රියාත්මක වීමේ සම්භාවිතාව පළමු සහ දෙවන සංවේදක සඳහා පිළිවෙලින් 0.5 සහ 0.7 වේ. ගින්නක ඇති සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) සංවේදක දෙකම අසාර්ථක වනු ඇත;
b) සංවේදක දෙකම ක්රියා කරයි.
ඇ) භාවිතා කිරීම සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සෑදීමේ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සඳහා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය, ගින්නක් අතරතුර එක් සංවේදකයක් පමණක් ක්රියාත්මක වීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගන්න. මෙම සම්භාවිතාව සෘජුව ගණනය කිරීමෙන් ප්රතිඵලය පරීක්ෂා කරන්න (එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීමේ න්‍යායන් භාවිතා කරමින්).
මෙහිදී, උපාංගවල ක්‍රියාකාරිත්වයේ ස්වාධීනත්වය කෙලින්ම සඳහන් වන්නේ කොන්දේසිය තුළ වන අතර, එය වැදගත් පැහැදිලි කිරීමකි. නියැදි විසඳුම අධ්‍යයන ශෛලියකින් නිර්මාණය කර ඇත.
සමාන ගැටලුවකදී, සමාන සම්භාවිතාවන් ලබා දෙන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, 0.9 සහ 0.9? ඔබ හරියටම තීරණය කළ යුතුයි! (ඇත්ත වශයෙන්ම, කාසි දෙකක් සමඟ උදාහරණයේ දැනටමත් පෙන්වා දී ඇත)
කාර්යය 7
පළමු වෙඩික්කරු විසින් එක් පහරකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.8 කි. පළමු සහ දෙවන වෙඩික්කරුවන් එක් වෙඩි තැබීමකින් පසු ඉලක්කයට පහර නොදීමේ සම්භාවිතාව 0.08 කි. එක් පහරකින් දෙවන වෙඩික්කරු විසින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව කොපමණද?
මෙය කුඩා ප්‍රහේලිකාවකි, එය කෙටි ආකාරයකින් රාමු කර ඇත. කොන්දේසිය වඩාත් සංක්ෂිප්තව ප්‍රතිසංස්කරණය කළ හැකි නමුත් මම මුල් පිටපත ප්‍රතිනිර්මාණය නොකරමි - ප්රායෝගිකව, මට වඩාත් විසිතුරු ගොතන ලද දේවල් ගැන සොයා බැලීමට සිදුවේ.
ඔහුව හමුවන්න - ඔහු ඔබ වෙනුවෙන් නොමැනිය හැකි විස්තර ප්රමාණයක් කපා හරින තැනැත්තායි =):
කාර්යය 8
සේවකයෙක් යන්ත්‍ර තුනක් ක්රියාත්මක කරයි. මාරුව තුළ පළමු යන්ත්රය ගැලපීම අවශ්ය වනු ඇත සම්භාවිතාව 0.3, දෙවන - 0.75, තෙවන - 0.4. මාරුව අතරතුර සම්භාවිතාව සොයන්න:
අ) සියලුම යන්ත්‍ර ගැලපීම අවශ්ය වේ;
b) ගැලපීම අවශ්ය වන්නේ එක් යන්ත්රයක් පමණි;
ඇ) අවම වශයෙන් එක් යන්ත්‍රයක්වත් ගැලපීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්: කොන්දේසිය තනි තාක්ෂණික ක්‍රියාවලියක් ගැන කිසිවක් නොකියන බැවින්, එක් එක් යන්ත්‍රයේ ක්‍රියාකාරිත්වය අනෙකුත් යන්ත්‍රවල ක්‍රියාකාරිත්වයෙන් ස්වාධීනව සැලකිය යුතුය.
කාර්ය අංක 5 සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, මෙහිදී ඔබට සලකා බැලීමේ සිදුවීම් ඇතුළත් කළ හැකිය, මාරු කිරීමේදී අනුරූප යන්ත්‍රවලට ගැලපීම් අවශ්ය වනු ඇත, සම්භාවිතාව ලියන්න , ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සොයා ගැනීම යනාදිය. නමුත් වස්තූන් තුනක් සමඟ, මට එවැනි කාර්යයක් කිරීමට අවශ්ය නැත - එය දිගු හා වෙහෙසකාරී වනු ඇත. එමනිසා, මෙහි "ඉක්මන්" ශෛලිය භාවිතා කිරීම සැලකිය යුතු ලෙස වඩා ලාභදායී වේ:
කොන්දේසිය අනුව: - මාරු කිරීමේදී අනුරූප යන්ත්‍ර සුසර කිරීම අවශ්ය වීමේ සම්භාවිතාව. එවිට ඔවුන් අවධානය යොමු නොකළ යුතු සම්භාවිතාවන් වන්නේ: 
පාඨකයන්ගෙන් එක් අයෙක් මෙහි හොඳ මුද්‍රණ දෝෂයක් සොයා ගත්තේය, මම එය නිවැරදි නොකරමි =)
අ) ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
මාරුව අතරතුර යන්ත්‍ර තුනටම ගැලපීම් අවශ්ය වීමේ සම්භාවිතාව වේ.
ආ) "මුරය අතරතුර, එක් යන්ත්රයක් පමණක් ගැලපීම අවශ්ය වේ" යන සිදුවීම නොගැලපෙන ප්රතිඵල තුනකින් සමන්විත වේ:
1) 1 වන යන්ත්රය අවශ්ය වනු ඇතඅවධානය හා 2 වන යන්ත්රය අවශ්ය නොවනු ඇත හා 3 වන යන්ත්රය අවශ්ය නොවනු ඇත
හෝ:
2) 1 වන යන්ත්රය අවශ්ය නොවනු ඇතඅවධානය හා 2 වන යන්ත්රය අවශ්ය වනු ඇත හා 3 වන යන්ත්රය අවශ්ය නොවනු ඇත
හෝ:
3) 1 වන යන්ත්රය අවශ්ය නොවනු ඇතඅවධානය හා 2 වන යන්ත්රය අවශ්ය නොවනු ඇත හා 3 වන යන්ත්රය අවශ්ය වනු ඇත.
නොගැලපෙන සම්භාවිතා එකතු කිරීම සහ ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීම පිළිබඳ සිද්ධාන්තවලට අනුව:
- මාරුව අතරතුර එක් යන්ත්රයක් පමණක් ගැලපීම අවශ්ය වීමේ සම්භාවිතාව.
මෙම ප්‍රකාශනය පැමිණියේ කොහෙන්ද යන්න මේ වන විට ඔබට පැහැදිලි විය යුතු යැයි මම සිතමි
ඇ) යන්ත්‍රවලට ගැලපීම් අවශ්ය නොවන සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න, ඉන්පසු ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව:
- අවම වශයෙන් එක් යන්ත්‍රයක්වත් ගැලපීම අවශ්ය වේ.
පිළිතුර:
"ve" අයිතමය එකතුව හරහාද විසඳිය හැක , මාරු කිරීමේදී යන්ත්‍ර දෙකක් පමණක් ගැලපීම අවශ්ය වීමේ සම්භාවිතාව කොහිද. මෙම සිදුවීම, අනෙක් අතට, නොගැලපෙන ප්රතිඵල 3 ක් ඇතුළත් වන අතර, ඒවා "be" අයිතමය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන් අත්සන් කර ඇත. සමානාත්මතාවයේ උපකාරයෙන් සම්පූර්ණ ගැටලුව පරීක්ෂා කිරීමට සම්භාවිතාව ඔබම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.
කාර්යය 9
තුවක්කු තුනක් ඉලක්කයට වොලි එකක් එල්ල කළේය. පළමු තුවක්කුවෙන් එක් වෙඩි පහරකින් පමණක් පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.7, දෙවන - 0.6, තෙවන සිට - 0.8. සම්භාවිතාව සොයන්න: 1) අවම වශයෙන් එක් ප්‍රක්ෂේපණයක් ඉලක්කයට පහර දෙයි; 2) ඉලක්කයට පහර දෙන්නේ ප්‍රක්ෂේපණ දෙකක් පමණි; 3) ඉලක්කය අවම වශයෙන් දෙවරක්වත් පහර දෙනු ඇත.
පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ පිළිතුර.
නැවතත් අහඹු සිදුවීම් ගැන: කොන්දේසිය අනුව, ආරම්භක සම්භාවිතාවන්හි අගයන් දෙකක් හෝ සියල්ලම සමපාත වන අවස්ථාවක (උදාහරණයක් ලෙස, 0.7; 0.7 සහ 0.7), එවිට හරියටම එකම විසඳුම් ඇල්ගොරිතම අනුගමනය කළ යුතුය.
ලිපිය අවසානයේ, අපි තවත් පොදු ප්රහේලිකාවක් විශ්ලේෂණය කරමු:
කාර්යය 10
වෙඩික්කරු සෑම පහරකින්ම එකම සම්භාවිතාවකින් ඉලක්කයට පහර දෙයි. පහරවල් තුනකදී අවම වශයෙන් එක් පහරක හෝ සම්භාවිතාව 0.973 නම් මෙම සම්භාවිතාව කුමක්ද.
විසඳුමක්: දැක්වීම මගින් - එක් එක් වෙඩි පහරින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව.
සහ හරහා - එක් එක් වෙඩි පහරින් මිස් වීමේ සම්භාවිතාව.
අපි සිදුවීම් සටහන් කරමු:
- වෙඩි 3 ක් සමඟ, වෙඩික්කරු අවම වශයෙන් එක් වරක් ඉලක්කයට පහර දෙනු ඇත;
- වෙඩික්කරුට 3 වතාවක් මග හැරෙනු ඇත.
කොන්දේසිය අනුව, ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව:
අනෙක් අතට, ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව: 
මේ ක්රමයෙන්: 
- සෑම පහරදීමකින්ම අතපසු වීමේ සම්භාවිතාව.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්:
එක් එක් පහර වැදීමේ සම්භාවිතාව වේ.
පිළිතුර: 0,7
සරල හා අලංකාරය.
සලකා බැලූ ගැටලුවේදී, එක් පහරක් පමණක්, පහර දෙකක් පමණක් සහ ඉලක්කයට පහර තුනක් ඇතිවීමේ සම්භාවිතාව පිළිබඳ අමතර ප්‍රශ්න මතු කළ හැකිය. විසඳුම් යෝජනා ක්රමය පෙර උදාහරණ දෙකෙහිම හරියටම සමාන වනු ඇත: 
කෙසේ වෙතත්, මූලික වැදගත් වෙනස වන්නේ ඒවා තිබීමයි නැවත නැවතත් ස්වාධීන පරීක්ෂණ, අනුක්‍රමිකව, එකිනෙකින් ස්වාධීනව සහ ප්‍රතිඵලවල එකම සම්භාවිතාව සහිතව සිදු කරනු ලැබේ.
ස්වාධීන සිදුවීම් වලින් පටන් ගනිමු. සිදුවීම් වේ ස්වාධීන සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නම් ඔවුන්ගෙන් ඕනෑම එකක් රඳා නොපවතීසලකා බලන ලද කට්ටලයේ අනෙකුත් සිදුවීම්වල පෙනුම / නොපැමිණීමෙන් (හැකි සියලු සංයෝජනවල).
ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය: ස්වාධීන සිදුවීම් ඒකාබද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව නමුත්හා හිදීමෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්හි ගුණිතයට සමාන වේ: P(AB) = P(A) × P(B)
1 වන පාඩමේ සරලම උදාහරණය වෙත ආපසු යමු, එහි කාසි දෙකක් විසි කරන ලද සහ පහත සිදුවීම්:
- විසි කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, 1 වන කාසිය හිස් වැටෙනු ඇත;
- විසි කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස, 2 වන කාසිය මත හිස් දිස්වනු ඇත.
A 1 A 2 සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න (1 වන කාසියේ හිස් දිස්වේ හාරාජාලියා 2 වන කාසිය මත දිස්වනු ඇත - කියවන ආකාරය මතක තබා ගන්නසිදුවීම්වල නිෂ්පාදනයක් !) . එක් කාසියක හිස ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වෙනත් කාසියක් විසි කිරීමේ ප්‍රති result ලය මත කිසිදු ආකාරයකින් රඳා නොපවතී, එබැවින් A 1 සහ A 2 සිදුවීම් ස්වාධීන වේ. ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) × P (A 2) \u003d × =
ඒ හා සමානව:
= × = × = - 1 වන කාසිය ටේල්ස් බවට පත් වීමේ සම්භාවිතාව හා 2 වන වලිගය මත;
= × = × = යනු 1 වන කාසිය මත හිස් දිස් වීමේ සම්භාවිතාවයි හා 2 වන වලිග මත;
= × = × = - 1 වන කාසිය වලිගය දිස් වීමේ සම්භාවිතාව හා 2 වන රාජාලියා මත.
සිදුවීම් , , , ආකෘතිය බව සලකන්න සම්පූර්ණ කණ්ඩායමසහ ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුව එකකට සමාන වේ: + + + = = 1
ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය පැහැදිලිවම b දක්වා විහිදේ පිළිබඳවඩා ස්වාධීන සිදුවීම්, එසේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, සිදුවීම් නම් ඒ, බී, සීස්වාධීන වේ, එවිට ඔවුන්ගේ ඒකාබද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ: P(ABC) = P(A) × P(B) × P(C).
කාර්යය 3
සෑම පෙට්ටි තුනකම කොටස් 10 ක් අඩංගු වේ. පළමු පෙට්ටියේ සම්මත කොටස් 8 ක් ඇත, දෙවන - 7, තුන්වන - 9. එක් එක් කොටුවකින් එක් කොටසක් අහඹු ලෙස ඉවත් කරනු ලැබේ. සියලුම කොටස් සම්මත වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුමක්: ඕනෑම පෙට්ටියකින් සම්මත හෝ සම්මත නොවන කොටසක් නිස්සාරණය කිරීමේ සම්භාවිතාව වෙනත් පෙට්ටිවලින් උපුටා ගන්නේ කුමන කොටස් මතද යන්න මත රඳා නොපවතී, එබැවින් ගැටළුව ස්වාධීන සිදුවීම් වේ. පහත ස්වාධීන සිදුවීම් සලකා බලන්න:
S1- 1 වන කොටුවෙන් සම්මත කොටසක් ඉවත් කරනු ලැබේ;
S2- 2 වන කොටුවෙන් සම්මත කොටසක් ඉවත් කරනු ලැබේ;
S3- 3 වන ලාච්චුවෙන් සම්මත කොටසක් ඉවත් කර ඇත.
සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීමට අනුව: P(S 1) = = 0,8; P(S2) = = 0,7; P(S 3)== 0.9; අනුරූප සම්භාවිතාවන් වේ.
අපි උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීම (සම්මත කොටස 1 වන ලාච්චුවෙන් ගනු ලැබේහා 2 වන ප්‍රමිතියෙන්හා 3 වන පන්තියේ සිට)නිෂ්පාදනයෙන් ප්‍රකාශ වේ S 1 S 2 S 3.
ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
R( S 1 S 2 S 3) \u003d P (S 1) × P (S 2) × P (S 3) \u003d 0.8 × 0.7 × 0.9 \u003d 0.504පෙට්ටි 3කින් එක් සම්මත කොටසක් උකහා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වේ.
පිළිතුර: සියලුම කොටස් සම්මත වීමේ සම්භාවිතාව 0.504 වේ
කාර්යය 4 (ස්වාධීන විසඳුම සඳහා)
බඳුන් තුනක සුදු බෝල 6 ක් සහ කළු බෝල 4 ක් අඩංගු වේ. සෑම බඳුනකින්ම අහඹු ලෙස එක් බෝලයක් ඇද ගනු ලැබේ. සම්භාවිතාව සොයන්න: a) බෝල තුනම සුදු වනු ඇත; b) බෝල තුනම එකම වර්ණයක් වනු ඇත.
ලැබුණු තොරතුරු මත පදනම්ව, "වෙන්න" අයිතමය සමඟ කටයුතු කරන්නේ කෙසේදැයි අනුමාන කරන්න. පාඩම අවසානයේ ලබා දී ඇති සියලුම සිදුවීම් පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක ලැයිස්තුවක් සමඟ ආදර්ශවත් නියැදි විසඳුමක් අධ්‍යයන ශෛලියකින් නිර්මාණය කර ඇත.
යැපෙන සිදුවීම්. සිදුවීම xකියලා යැපෙන එහි සම්භාවිතාව නම් P(X) රඳා පවතීඑකකින් හෝ පිළිබඳදැනටමත් සිදුවී ඇති තවත් සිදුවීම්. උදාහරණ සඳහා ඔබට බොහෝ දුර යා යුතු නැත - ළඟම ඇති වෙළඳසැලට ඇවිදින්න:
x- හෙට 19.00 නැවුම් පාන් විකිණීමට ඇත.
මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වෙනත් බොහෝ සිදුවීම් මත රඳා පවතී: නැවුම් පාන් හෙට ලබා දෙන්නේද, එය සවස 7 ට පෙර විකුණනු ලැබේද නැද්ද යන්න යනාදිය. විවිධ තත්වයන් මත පදනම්ව, මෙම සිදුවීම දෙකම විශ්වසනීය විය හැකිය P(X)= 1, සහ නොහැකි ය P(X)= 0. මේ අනුව, සිද්ධිය xවේ යැපෙන.
තවත් උදාහරණයක්, හිදී- විභාගයේදී, ශිෂ්යයාට සරල ටිකට් පතක් ලැබෙනු ඇත.
ඔබ මුලින්ම නොයන්නේ නම්, සිද්ධිය හිදීඑහි සම්භාවිතාව නිසා රඳා පවතිනු ඇත P(B)පන්තියේ මිතුරන් විසින් දැනටමත් ලබාගෙන ඇති ටිකට්පත් මත රඳා පවතී.