දී ඇති ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව උසස් පාසලේ සහ උසස් අධ්‍යාපන ආයතනවල ගණිත පාඨමාලාවේ ප්රධාන එකකි. ශ්රිතයක් සම්පූර්ණයෙන් ගවේෂණය කිරීම, එහි ව්යුත්පන්නය නොගෙන එහි ප්‍රස්තාරය ගොඩ නැගීම කළ නොහැක. ඔබ අවකලනය පිළිබඳ මූලික නීති මෙන්ම ප්රධාන ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න වගුව ද දන්නේ නම් ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය. ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු.
ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය, තර්කයේ වර්ධක ශුන්යයට නැඹුරු වන විට ශ්‍රිතයේ වර්ධකයේ අනුපාතයේ අනුපාතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ.
සීමාව පිළිබඳ සංකල්පය පාසලේදී සම්පූර්ණයෙන් අධ්‍යයනය කර නොමැති බැවින් මෙම නිර්වචනය තේරුම් ගැනීම තරමක් අපහසුය. නමුත් විවිධ ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීම සඳහා, නිර්වචනය තේරුම් ගැනීම අවශ්ය නොවේ, එය ගණිතඥයින්ට භාර දී ව්යුත්පන්නය සෙවීමට කෙලින්ම යමු.
ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමේ ක්රියාවලිය අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. ශ්රිතයක් අවකලනය කිරීමේදී අපට නව ශ්රිතයක් ලැබේ.
ඔවුන්ගේ නම් කිරීම සඳහා, අපි ලතින් අක්ෂර f, g, ආදිය භාවිතා කරමු.
ව්යුත්පන්න සඳහා විවිධ අංක රාශියක් ඇත. අපි ආඝාතය භාවිතා කරන්නෙමු. උදාහරණයක් ලෙස, g" ප්‍රවේශය යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ අපි g ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්නා බවයි.
ව්යුත්පන්න වගුව
ව්යුත්පන්න සොයා ගන්නේ කෙසේද යන ප්රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා, ප්රධාන කාර්යයන්හි ව්යුත්පන්න වගුවක් සැපයීම අවශ්ය වේ. ප්රාථමික ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම සඳහා, සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම අවශ්ය නොවේ. ව්යුත්පන්න වගුවේ එහි වටිනාකම දෙස බැලීම පමණක් ප්රමාණවත්ය.
- (sinx)"=cosx
- (cos x)"= -sin x
- (xn)"=nxn-1
- (උදා)"=උදා
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= - 1/පව් 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
උදාහරණ 1. y=500 ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
එය නියතයක් බව අපට පෙනේ. ව්යුත්පන්න වගුවට අනුව, නියතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන බව දන්නා කරුණකි (සූත්රය 1).
උදාහරණ 2. y=x 100 ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
මෙය ඝාතකය 100 වන බල ශ්රිතයක් වන අතර, එහි ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට, ඔබ ශ්රිතය ඝාතකයෙන් ගුණ කර එය 1 කින් අඩු කළ යුතුය (සූත්රය 3).
(x 100)"=100 x 99
උදාහරණ 3. y=5 x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
මෙය ඝාතීය ශ්‍රිතයකි, අපි එහි ව්යුත්පන්නය සූත්රය 4 භාවිතයෙන් ගණනය කරමු.
උදාහරණ 4. y= log 4 x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
අපි ලඝුගණකයේ ව්යුත්පන්නය සූත්රය 7 භාවිතා කර සොයා ගනිමු.
(ලොග් 4 x)"=1/x ලොගය 4
අවකලනය කිරීමේ නීති
වගුවේ නොමැති නම් ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි අපි දැන් සොයා බලමු. විමර්ශනය කරන ලද බොහෝ ශ්‍රිත ප්රාථමික නොවන නමුත් සරලම ක්‍රියාවන් (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම සහ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම) භාවිතා කරන මූලික ශ්රිතවල සංයෝජන වේ. ඒවායේ ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමට, ඔබ අවකලනය කිරීමේ නීති දැන සිටිය යුතුය. තවද, f සහ g අක්ෂර ශ්‍රිතයන් දක්වන අතර C යනු නියතයකි.
1. ව්යුත්පන්නයේ ලකුණෙන් නියත සංගුණකයක් ගත හැකිය
උදාහරණ 5. y= 6*x 8 ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
අපි නියත සංගුණකය 6 ඉවත් කර x 4 පමණක් වෙන් කරමු. මෙය බල ශ්රිතයක් වන අතර, ව්යුත්පන්න වගුවේ 3 වන සූත්රය අනුව අපට සොයාගත හැකි ව්යුත්පන්නය.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. එකතුවේ ව්යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවට සමාන වේ
(f + g)"=f" + g"
උදාහරණ 6. y= x 100 + sin x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
ශ්රිතය යනු අපට වගුවෙන් සොයාගත හැකි ව්යුත්පන්නයන් දෙකක එකතුවකි. සිට (x 100)"=100 x 99 සහ (sin x)"=cos x. එකතුවේ ව්යුත්පන්නය මෙම ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවට සමාන වේ:
(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x
3. වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නයන්ගේ වෙනසට සමාන වේ
(f – g)"=f" – g"
උදාහරණය 7. y= x 100 - cos x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
මෙම ශ්රිතය යනු ශ්‍රිත දෙකක වෙනස වන අතර එහි ව්යුත්පන්නයන් අපට වගුවෙන් ද සොයාගත හැකිය. එවිට වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නවල වෙනසට සමාන වන අතර ලකුණ වෙනස් කිරීමට අමතක නොකරන්න, මන්ද (cos x) "= - sin x.
(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x
උදාහරණ 8. ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න y=e x +tg x– x 2 .
මෙම ශ්‍රිතයට එකතුවක් සහ වෙනසක් ඇත, අපි එක් එක් පදයේ ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. එවිට මුල් ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය වන්නේ:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. නිෂ්පාදනයක ව්යුත්පන්නය
(f * g)"=f" * g + f * g"
උදාහරණ 9. y= cos x *e x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමුව එක් එක් සාධකයේ ව්යුත්පන්නය (cos x)"=–sin x සහ (e x)"=e x සොයා ගන්න. දැන් අපි නිෂ්පාදන සූත්‍රයට සියල්ල ආදේශ කරමු. පළමු ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය දෙවැන්නෙන් ගුණ කර පළමු ශ්‍රිතයේ ගුණිතය දෙවැන්නේ ව්‍යුත්පන්නයෙන් එකතු කරන්න.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x * sin x
5. ප්‍රාග්ධනයේ ව්යුත්පන්නය
(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2
උදාහරණ 10. y= x 50 / sin x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න
ප්‍රාග්ධනයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට, පළමුව සංඛ්‍යා සහ හරයෙහි ව්යුත්පන්නය වෙන වෙනම සොයන්න: (x 50)"=50 x 49 සහ (sin x)"= cos x. කොටස්වල ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්‍රයේ ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය
සංකීර්ණ ශ්රිතයක් යනු ශ්‍රිත කිහිපයක සංයුතියකින් නිරූපණය වන ශ්‍රිතයකි. සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම සඳහා, රීතියක් ද ඇත:
(u(v))"=u"(v)*v"
එවැනි ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි බලමු. y= u(v(x)) සංකීර්ණ ශ්රිතයක් වේවා. u ශ්රිතය බාහිර ලෙසත් v - අභ්යන්තර ලෙසත් හඳුන්වනු ලැබේ.
උදාහරණ වශයෙන්:
y=sin (x 3) යනු සංකීර්ණ ශ්‍රිතයකි.
එවිට y=sin(t) යනු බාහිර ශ්‍රිතයයි
t=x 3 - අභ්යන්තර.
මෙම ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරමු. සූත්රය අනුව, අභ්යන්තර හා බාහිර ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නයන් ගුණ කිරීම අවශ්ය වේ.
(sin t)"=cos (t) - බාහිර ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය (මෙහිදී t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - අභ්යන්තර ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය
එවිට (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 යනු සංකීර්ණ ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයයි.
දිනය: 11/20/2014
ව්යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද?
ව්යුත්පන්න වගුව.
ව්යුත්පන්නය යනු උසස් ගණිතයේ ප්රධාන සංකල්පවලින් එකකි. මෙම පාඩමේදී අපි මෙම සංකල්පය හඳුන්වා දෙන්නෙමු. දැඩි ගණිතමය සූත්‍රගත කිරීම් සහ සාක්ෂි නොමැතිව අපි දැන හඳුනා ගනිමු.
මෙම හැඳින්වීම ඔබට ඉඩ දෙනු ඇත:
ව්යුත්පන්නයක් සමඟ සරල කාර්යයන් වල සාරය තේරුම් ගන්න;
මෙම ඉතා සරල කාර්යයන් සාර්ථකව විසඳන්න;
වඩාත් බරපතල ව්යුත්පන්න පාඩම් සඳහා සූදානම් වන්න.
පළමුව, ප්රසන්න පුදුමයක්.
ව්යුත්පන්නයේ දැඩි නිර්වචනය සීමාවන් පිළිබඳ න්‍යාය මත පදනම් වන අතර කාරණය තරමක් සංකීර්ණ ය. කලබලයි. නමුත් ව්යුත්පන්නයේ ප්රායෝගික යෙදුම, නීතියක් ලෙස, එවැනි පුළුල් හා ගැඹුරු දැනුමක් අවශ්ය නොවේ!
පාසැලේ සහ විශ්ව විද්යාලයේ බොහෝ කාර්යයන් සාර්ථකව නිම කිරීම සඳහා, එය දැන ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ නියමයන් කිහිපයක් පමණි- කාර්යය තේරුම් ගැනීමට, සහ නීති කිහිපයක් පමණි- එය විසඳීමට. හා එපමණයි. මේක මට සතුටක්.
අපි එකිනෙකා දැන හඳුනා ගනිමු?)
නියමයන් සහ තනතුරු.
මූලික ගණිතයේ බොහෝ ගණිතමය මෙහෙයුම් ඇත. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, ඝාතය, ලඝුගණකය, ආදිය. මෙම මෙහෙයුම් වලට තවත් එක් මෙහෙයුමක් එකතු කළහොත්, මූලික ගණිතය උසස් වේ. මෙම නව මෙහෙයුම ලෙස හැඳින්වේ අවකලනය.මෙම මෙහෙයුමේ අර්ථ දැක්වීම සහ අර්ථය වෙනම පාඩම් වලින් සාකච්ඡා කෙරේ.
මෙහිදී අවකලනය යනු ශ්‍රිතයක ගණිතමය මෙහෙයුමක් පමණක් බව වටහා ගැනීම වැදගත් වේ. අපි ඕනෑම කාර්යයක් ගන්නා අතර, යම් නීතිරීතිවලට අනුව, එය පරිවර්තනය කරන්න. ප්රතිඵලය නව කාර්යයකි. මෙම නව කාර්යය හැඳින්වෙන්නේ: ව්යුත්පන්න.
අවකලනය- කාර්යයක් මත ක්රියා කිරීම.
ව්යුත්පන්නමෙම ක්රියාවෙහි ප්රතිඵලයයි.
හරියට, උදාහරණයක් ලෙස, එකතුවඑකතු කිරීමේ ප්රතිඵලයයි. හෝ පුද්ගලිකබෙදීමේ ප්රතිඵලයයි.
නියමයන් දැන ගැනීමෙන්, ඔබට අවම වශයෙන් කාර්යයන් තේරුම් ගත හැකිය.) වචන පහත පරිදි වේ: ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න; ව්යුත්පන්නය ගන්න; කාර්යය වෙනස් කරන්න; ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්නආදිය එය සියල්ලම එකම.ඇත්ත වශයෙන්ම, වඩාත් සංකීර්ණ කාර්යයන් ඇත, ව්යුත්පන්නය (අවකලනය) සොයා ගැනීම කාර්යය විසඳීමේ එක් පියවරක් පමණි.
ව්යුත්පන්නය ශ්‍රිතයට ඉහලින් දකුණු පස ඇති ඉරක් මගින් දැක්වේ. මෙවැනි: y"හෝ f"(x)හෝ S"(t)සහ යනාදි.
කියවන්න y ආඝාතය, ef stroke from x, es stroke from te,හොඳයි ඔබට තේරෙනවා...)
ප්‍රාථමිකයකට යම් ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නයක් ද දැක්විය හැක, උදාහරණයක් ලෙස: (2x+3)", (x 3 )" , (සින්ක්ස්)"ආදිය බොහෝ විට ව්යුත්පන්නය අවකල්‍ය භාවිතා කරමින් දක්වනු ලැබේ, නමුත් අපි මෙම පාඩමේදී එවැනි අංකනයක් සලකා බලන්නේ නැත.
අපි කර්තව්යයන් තේරුම් ගැනීමට ඉගෙන ගෙන ඇතැයි සිතමු. කිසිවක් ඉතිරිව නැත - ඒවා විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමට.) මම ඔබට නැවත මතක් කරමි: ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම යම් නීතිරීති අනුව ශ්රිතයක් පරිවර්තනය කිරීම.මෙම නීති පුදුම සහගත ලෙස ස්වල්ප වේ.
ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට, ඔබ දැනගත යුත්තේ කරුණු තුනක් පමණි. සියලු අවකලනය රැඳී ඇති කුළුණු තුනක්. මෙන්න තල්මසුන් තිදෙනා:
1. ව්යුත්පන්න වගුව (අවකලනය සූත්ර).
3. සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය.
අපි පිළිවෙලට පටන් ගනිමු. මෙම පාඩමේදී, අපි ව්යුත්පන්න වගුව සලකා බලමු.
ව්යුත්පන්න වගුව.
ලෝකයට අනන්තවත් කාර්යයන් ඇත. මෙම කට්ටලය අතර ප්රායෝගික භාවිතය සඳහා වඩාත් වැදගත් වන කාර්යයන් ඇත. මෙම කාර්යයන් ස්වභාවධර්මයේ සියලුම නීති වල පිහිටා ඇත. මෙම කාර්යයන් වලින්, ගඩොල්වලින් මෙන්, ඔබට අනෙක් සියල්ල සෑදිය හැකිය. මෙම ශ්‍රිත පන්තිය ලෙස හැඳින්වේ මූලික කාර්යයන්.පාසලේදී අධ්‍යයනය කරනු ලබන්නේ මෙම කාර්යයන් ය - රේඛීය, හතරැස්, හයිපර්බෝලා යනාදිය.
"මුල සිට" ශ්රිතවල වෙනස, i.e. ව්යුත්පන්නයේ නිර්වචනය සහ සීමාවන් පිළිබඳ න්‍යාය මත පදනම්ව - තරමක් කාලය ගතවන දෙයකි. ඒ වගේම ගණිතඥයන් මිනිස්සුත්, ඔව්, ඔව්!) ඒ නිසා ඔවුන් ඔවුන්ගේ ජීවිත සරල කළා (සහ අපි). ඔවුන් අපට පෙර මූලික ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න ගණනය කළහ. එහි ප්රතිඵලය වන්නේ ව්යුත්පන්න වගුවකි, එහිදී සියල්ල සූදානම්ය.)
මෙන්න එය, වඩාත් ජනප්රිය කාර්යයන් සඳහා මෙම තහඩුව. වම් - මූලික ශ්රිතය, දකුණ - එහි ව්යුත්පන්නය.
| කාර්යය වයි |
y ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය y" |
|
| 1 | C (ස්ථාවර) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n යනු ඕනෑම අංකයකි) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | පාපය x | (සින්ක්ස්)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | ආර්ක්සින් x |  |
| ආර්කෝස් x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | ඒ x |  |
| ඊ x | ||
| 5 | ලඝු ඒ x |  |
| ln x ( a = e) |
මෙම ව්යුත්පන්න වගුවේ තුන්වන කාණ්ඩයේ ශ්‍රිත කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි. බල ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය වඩාත් සුලභ සූත්‍රවලින් එකකි, වඩාත් පොදු නොවේ නම්! ඉඟිය පැහැදිලිද?) ඔව්, ව්යුත්පන්න වගුව හදවතින් දැන ගැනීම සුදුසුය. මාර්ගය වන විට, මෙය පෙනෙන තරම් අපහසු නොවේ. තවත් උදාහරණ විසඳීමට උත්සාහ කරන්න, මේසයම මතකයේ රැඳෙනු ඇත!)
ව්යුත්පන්නයේ වගු අගය සොයා ගැනීම, ඔබ තේරුම් ගත් පරිදි, වඩාත්ම දුෂ්කර කාර්යය නොවේ. එමනිසා, බොහෝ විට එවැනි කාර්යයන් වලදී අතිරේක චිප්ස් ඇත. එක්කෝ කර්තව්‍යය සූත්‍රගත කිරීමේදී හෝ වගුවේ නොපෙනෙන මුල් ශ්‍රිතයේ ...
උදාහරණ කිහිපයක් බලමු:
1. y = x ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න 3
වගුවේ එවැනි කාර්යයක් නොමැත. නමුත් බල ශ්‍රිතයේ (තෙවන කණ්ඩායම) සාමාන්‍ය ව්යුත්පන්නයක් ඇත. අපගේ නඩුවේදී, n=3. එබැවින් අපි n වෙනුවට ත්රිත්ව ආදේශ කර ප්රතිඵලය ප්රවේශමෙන් ලියන්න:
(x 3) "= 3 x 3-1 = 3x 2
ඒකේ තියෙන්නේ එච්චරයි.
පිළිතුර: y" = 3x 2
2. x = 0 ලක්ෂ්‍යයේ y = sinx ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය සොයන්න.
මෙම කාර්යයෙන් අදහස් වන්නේ ඔබ මුලින්ම සයින් ව්යුත්පන්නය සොයා ගත යුතු අතර, පසුව අගය ආදේශ කළ යුතු බවයි x = 0මෙම එකම ව්‍යුත්පන්නයට. එය එම අනුපිළිවෙලෙහි ඇත!එසේ නොමැති නම්, ඔවුන් වහාම මුල් ශ්‍රිතයට බිංදුව ආදේශ කිරීම සිදු වේ ... අපෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ මුල් ශ්‍රිතයේ අගය නොව අගය සොයා ගන්නා ලෙසයි. එහි ව්යුත්පන්නය.ව්යුත්පන්නය, මම ඔබට මතක් කර දෙන්නම්, දැනටමත් නව කාර්යයකි.
තහඩුව මත අපි සයින් සහ අනුරූප ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
y" = (sinx)" = cosx
ව්‍යුත්පන්නයට බිංදුව ආදේශ කරන්න:
y"(0) = cos 0 = 1
මෙය පිළිතුර වනු ඇත.
3. කාර්යය වෙනස් කරන්න:
ආස්වාදය කුමක්ද?) ව්යුත්පන්න වගුවේ එවැනි ශ්රිතයක් පවා වසා නැත.
ශ්රිතයක් අවකලනය කිරීම යනු මෙම ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම බව මම ඔබට මතක් කරමි. ඔබට මූලික ත්‍රිකෝණමිතිය අමතක වුවහොත්, අපගේ ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම තරමක් කරදරකාරී වේ. මේසය උදව් කරන්නේ නැත ...
නමුත් අපි දකිනවා නම් අපගේ කාර්යය වේ ද්විත්ව කෝණයක කෝසයින්, එවිට සියල්ල වහාම යහපත් වේ!
ඔව් ඔව්! මුල් කාර්යයේ පරිවර්තනය බව මතක තබා ගන්න අවකලනයට පෙරබෙහෙවින් පිළිගත හැකි! ඒවගේම ජීවිතය ගොඩක් පහසු කරවන්න ඒක සිද්ධ වෙනවා. ද්විත්ව කෝණයක කෝසයිනය සඳහා සූත්රය අනුව:
එම. අපගේ උපක්‍රමශීලී කාර්යය අන් කිසිවක් නොවේ y = cox. අනික මේක table function එකක්. අපට වහාම ලැබෙන්නේ:
පිළිතුර: y" = - sin x.
උසස් උපාධිධාරීන් සහ සිසුන් සඳහා උදාහරණයක්:
4. ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
ඇත්ත වශයෙන්ම ව්යුත්පන්න වගුවේ එවැනි කාර්යයක් නොමැත. නමුත් ඔබට ප්රාථමික ගණිතය, බලයන් සහිත ක්රියා මතක නම්... එවිට මෙම ශ්රිතය සරල කිරීමට සෑහෙන්න පුළුවන්. මෙවැනි:
සහ x සිට දහයෙන් එකක බලය දැනටමත් වගු ශ්‍රිතයකි! තුන්වන කණ්ඩායම, n=1/10. සූත්‍රයට අනුව කෙලින්ම ලියන්න:
එච්චරයි. මෙය පිළිතුර වනු ඇත.
අවකලනයේ පළමු තල්මසා සමඟ - ව්යුත්පන්න වගුව - සියල්ල පැහැදිලි යැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි. ඉතිරිව ඇති තල්මසුන් දෙදෙනා සමඟ කටයුතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත. මීළඟ පාඩමේදී අපි අවකලනය කිරීමේ නීති ඉගෙන ගනිමු.
- ඝාතීය සහ ලඝුගණක ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න වගුව
සරල ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න
1. සංඛ්‍යාවක ව්යුත්පන්නය ශුන්ය වේс´ = 0
උදාහරණයක්:
5' = 0
පැහැදිලි කිරීම:
ව්‍යුත්පන්නයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ තර්කය වෙනස් වන විට ශ්‍රිතයේ අගය වෙනස් වන වේගයයි. කිසිදු කොන්දේසියක් යටතේ අංකය කිසිදු ආකාරයකින් වෙනස් නොවන බැවින්, එහි වෙනස් වීමේ අනුපාතය සෑම විටම ශුන්ය වේ.
2. විචල්‍යයක ව්‍යුත්පන්නයඑකකට සමානයි
x' = 1
පැහැදිලි කිරීම:
තර්කයේ (x) එක් එක් වර්ධකයක් සමඟ, ශ්‍රිතයේ අගය (ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලය) එකම ප්‍රමාණයකින් වැඩි වේ. මේ අනුව, y = x ශ්‍රිතයේ අගය වෙනස් වීමේ අනුපාතය හරියටම තර්කයේ අගය වෙනස් වීමේ අනුපාතයට සමාන වේ.
3. විචල්‍යයක සහ සාධකයක ව්යුත්පන්නය මෙම සාධකයට සමාන වේ
сx´ = с
උදාහරණයක්:
(3x) = 3
(2x) = 2
පැහැදිලි කිරීම:
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සෑම අවස්ථාවකම ශ්‍රිත තර්කය ( x) එහි අගය (y) වර්ධනය වේ සමඟවරක්. මේ අනුව, තර්කයේ වෙනස් වීමේ අනුපාතයට සාපේක්ෂව ශ්‍රිතයේ අගය වෙනස් වීමේ අනුපාතය හරියටම අගයට සමාන වේ. සමඟ.
එය අනුගමනය කරන්නේ කොහෙන්ද
(cx + b)" = c
එනම් y=kx+b රේඛීය ශ්‍රිතයේ අවකලනය සරල රේඛාවේ (k) බෑවුමට සමාන වේ.
4. විචල්‍යයක මොඩියුල ව්‍යුත්පන්නයමෙම විචල්‍යයේ ප්‍රමාණය එහි මාපාංකයට සමාන වේ
|x|"= x / |x| x ≠ 0 ලෙස සපයා ඇත
පැහැදිලි කිරීම:
විචල්‍යයේ ව්යුත්පන්නය (සූත්රය 2 බලන්න) එකකට සමාන බැවින්, මාපාංකයේ ව්යුත්පන්නය වෙනස් වන්නේ ප්‍රභව ලක්ෂ්‍යය තරණය කිරීමේදී ශ්‍රිතයේ වෙනස් වීමේ වේගයේ අගය ප්‍රතිවිරුද්ධ අගයට වෙනස් වන විට පමණි (ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න. ශ්‍රිතයේ y = |x| සහ ඔබම බලන්න.මෙය හරියටම අගය වන අතර x / |x| ප්‍රකාශනය ලබා දෙන විට x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - එකක්. එනම්, x විචල්‍යයේ සෘණ අගයන් සමඟ, තර්කයේ වෙනස්වීම්වල එක් එක් වැඩිවීමත් සමඟ, ශ්‍රිතයේ අගය හරියටම එකම අගයකින් අඩු වන අතර, ධනාත්මක අගයන් සමඟ, ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, එය වැඩි වේ, නමුත් හරියටම එකම අගය.
5. විචල්‍යයක බල ව්‍යුත්පන්නයමෙම බලයේ අංකයේ ගුණිතය සහ බලයේ විචල්යය, එකකින් අඩු වේ
(x c)"= cx c-1, x c සහ cx c-1 අර්ථ දක්වා ඇති අතර c ≠ 0
උදාහරණයක්:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
සූත්රය මතක තබා ගැනීමට:
"පහළ" යන විචල්‍යයේ ඝාතක ගුණකය ලෙස ගන්න, ඉන්පසු ඝාතකය එකකින් අඩු කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, x 2 සඳහා - දෙකක් x ට වඩා ඉදිරියෙන්, පසුව අඩු කළ බලය (2-1 = 1) අපට 2x ලබා දුන්නේය. x 3 සඳහාද එයම සිදු විය - අපි ත්රිත්ව අඩු කරන්නෙමු, එය එකකින් අඩු කරන්නෙමු, සහ ඝනකයක් වෙනුවට අපට චතුරස්රයක් ඇත, එනම් 3x 2 . ටිකක් "විද්‍යාත්මක", නමුත් මතක තබා ගැනීමට ඉතා පහසුය.
6.භාග ව්යුත්පන්නය 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
උදාහරණයක්:
මක්නිසාද යත්, කොටසක් සෘණ බලයක් දක්වා ඉහළ නැංවීමක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බැවිනි
(1/x)" = (x -1)" , එවිට ඔබට ව්යුත්පන්න වගුවේ 5 වන රීතියෙන් සූත්රය යෙදිය හැක.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. භාග ව්යුත්පන්නය අත්තනෝමතික උපාධියේ විචල්‍යයක් සමඟහරයෙහි
(1/x c)" = - c / x c+1
උදාහරණයක්:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. මූල ව්යුත්පන්නය(වර්ග මූල යටතේ විචල්‍යයේ ව්යුත්පන්නය)
(√x)" = 1 / (2√x)හෝ 1/2 x -1/2
උදාහරණයක්:
(√x)" = (x 1/2)" එබැවින් ඔබට 5 රීතියෙන් සූත්රය යෙදිය හැක
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. අත්තනෝමතික උපාධියක මූලයක් යටතේ විචල්‍යයක ව්යුත්පන්නය
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සෙවීමේ ක්රියාවලිය ලෙස හැඳින්වේ අවකලනය.ව්යුත්පන්නය ගණිතමය විශ්ලේෂණ ක්‍රියාවලියේදී ගැටලු ගණනාවකින් සොයා ගැනීමට සිදුවේ. උදාහරණයක් ලෙස, ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයක අන්ත ලක්ෂ්‍ය සහ ආවර්ත ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීමේදී.
සොයා ගන්නේ කෙසේද?
ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ මූලික ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න වගුව දැන සිටිය යුතු අතර අවකලනය පිළිබඳ මූලික නීති යෙදිය යුතුය:
- ව්යුත්පන්නයේ ලකුණෙන් නියතය ඉවත් කිරීම: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- ශ්රිතවල එකතුව/වෙනසෙහි ව්යුත්පන්න: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- භාග ව්යුත්පන්න : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
- සංයුක්ත ශ්‍රිත ව්යුත්පන්නය : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
විසඳුම් උදාහරණ
| උදාහරණ 1 |
| $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න |
| විසඳුමක් |
|
ශ්රිතවල එකතුව/වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නවල එකතුව/වෙනසට සමාන වේ: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ බල ශ්‍රිත ව්යුත්පන්න රීතිය භාවිතා කරමින් $ (x^p)" = px^(p-1) $ අපට ඇත: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ නියතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන බව ද සැලකිල්ලට ගන්නා ලදී. ඔබට ඔබේ ගැටලුව විසඳා ගත නොහැකි නම්, එය අප වෙත එවන්න. අපි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දෙන්නෙමු. ගණනය කිරීමේ ප්‍රගතිය පිළිබඳව ඔබව හුරු කරවීමට සහ තොරතුරු රැස් කිරීමට ඔබට හැකි වනු ඇත. කාලෝචිත ආකාරයකින් ගුරුවරයාගෙන් ණයක් ලබා ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාරී වනු ඇත! |
| පිළිතුර |
| $$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
ව්යුත්පන්න
ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම (අවකලනය) උසස් ගණිතය විසඳීමේදී ඉතා සුලභ කාර්යයකි. සරල (මූලික) ගණිතමය ශ්‍රිත සඳහා, මෙය තරමක් සරල කාරණයකි, මන්ද ප්රාථමික ශ්‍රිත සඳහා ව්යුත්පන්න වගු දිගු කලක් සම්පාදනය කර ඇති අතර පහසුවෙන් ප්‍රවේශ විය හැකි බැවිනි. කෙසේ වෙතත්, සංකීර්ණ ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම සුළුපටු කාර්යයක් නොවන අතර බොහෝ විට සැලකිය යුතු උත්සාහයක් හා කාලයක් අවශ්ය වේ.
අන්තර්ජාලයෙන් ව්යුත්පන්න සොයන්න
අපගේ මාර්ගගත සේවාව ඔබට අර්ථ විරහිත දිගු ගණනය කිරීම් වලින් මිදීමට ඉඩ සලසයි අන්තර්ජාලයෙන් ව්යුත්පන්න සොයන්නඑක මොහොතකින්. එපමණක් නොව, වෙබ් අඩවියේ පිහිටා ඇති අපගේ සේවාව භාවිතා කිරීම www.site, ඔබට ගණනය කළ හැකිය ව්යුත්පන්න ඔන්ලයින්මූලික ශ්‍රිතයකින් සහ විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුමක් නොමැති ඉතා සංකීර්ණ එකකින්. අනෙක් ඒවාට සාපේක්ෂව අපගේ වෙබ් අඩවියේ ඇති ප්රධාන වාසි වනුයේ: 1) ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම සඳහා ගණිතමය ශ්රිතයක් ඇතුළත් කිරීමේ ක්‍රමය සඳහා දැඩි අවශ්‍යතා නොමැත (උදාහරණයක් ලෙස, සයින් x ශ්රිතය ඇතුළත් කිරීමේදී, ඔබට එය sin x හෝ sin ලෙස ඇතුළත් කළ හැකිය. (x) හෝ පාපය [x], ආදිය) d.); 2) මාර්ගගත ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම ප්‍රකාරයේදී ක්ෂණිකව සිදු වේ සමඟ අමුත්තන්සහ සම්පූර්ණයෙන්ම නොමිලේ වේ; 3) ශ්‍රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීමට අපි ඉඩ දෙන්නෙමු ඕනෑම නියෝගයක්, ව්යුත්පන්නයේ අනුපිළිවෙල වෙනස් කිරීම ඉතා පහසු සහ තේරුම් ගත හැකි ය; 4) අපි ඔබට ඕනෑම ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නයක් මාර්ගගතව, ඉතා සංකීර්ණ වුවත්, වෙනත් සේවාවන්ට ප්‍රවේශ විය නොහැක. ලබා දී ඇති ප්‍රතිචාරය සැමවිටම නිවැරදි වන අතර දෝෂ අඩංගු විය නොහැක.
අපගේ සේවාදායකය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට 1) ඔබ වෙනුවෙන් අන්තර්ජාලය හරහා ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි, ඔබට වැරදීමක් හෝ ටයිප් කිරීමක් සිදු කළ හැකි දිගු හා වෙහෙසකර ගණනය කිරීම් වලින් ඔබව ගලවා ගනී; 2) ඔබ විසින්ම ගණිතමය ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්නේ නම්, අපගේ සේවාවේ ගණනය කිරීම් සමඟ ප්රතිඵලය සංසන්දනය කිරීමට සහ විසඳුම නිවැරදි බව හෝ හොර දෝෂයක් සොයා ගැනීමට අපි ඔබට අවස්ථාව ලබා දෙන්නෙමු; 3) සරල ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න වගු භාවිතා කිරීම වෙනුවට අපගේ සේවාව භාවිතා කරන්න, එහිදී බොහෝ විට අපේක්ෂිත ශ්රිතය සොයා ගැනීමට කාලය ගතවේ.
ඔබෙන් අවශ්ය සියල්ල අන්තර්ජාලයෙන් ව්යුත්පන්න සොයන්නඅපගේ සේවාව භාවිතා කිරීමයි