ත්රිකෝණයක් යනු එකම රේඛාවක නොසිටින ලක්ෂ්‍ය තුනක් සම්බන්ධ කරන කොටස් තුනකින් සැදුම්ලත් ජ්‍යාමිතික අංකයකි. ත්රිකෝණයක් සාදන ලක්ෂ්‍ය එහි ලක්ෂ්‍ය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එම කොටස් එක පැත්තකින් පිහිටා ඇත.
ත්රිකෝණයේ වර්ගය අනුව (සෘජුකෝණාස්රාකාර, ඒකවර්ණ, ආදිය) ඔබට ත්රිකෝණයේ පැත්ත විවිධ ආකාරවලින් ගණනය කළ හැකිය, ආදාන දත්ත සහ ගැටලුවේ කොන්දේසි මත පදනම්ව.
ලිපියක් සඳහා ඉක්මන් සංචාලනය
සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක පැති ගණනය කිරීම සඳහා, පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරනු ලබන අතර, ඒ අනුව කර්ණය වර්ග පාදයේ වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ.
අපි කකුල් "a" සහ "b" සහ කර්ණය "c" ලෙස නම් කරන්නේ නම්, පහත සූත්‍ර සමඟ පිටු සොයාගත හැකිය:
සෘජුකෝණාස්රයක තියුණු කෝණ (a සහ b) දන්නේ නම්, එහි පැති පහත සූත්‍ර සමඟින් සොයාගත හැක:
කපන ලද ත්රිකෝණය
ත්රිකෝණයක් දෙපස සමාන වන සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
කකුල් දෙකේ කර්ණය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
"a" අකුර එකම පිටුවට සමාන නම්, "b" යනු පාදම නම්, "b" යනු පාදයට විරුද්ධ කොනයි, "a" යනු යාබද කෙළවරයි නම්, පිටු ගණනය කිරීම සඳහා පහත සූත්‍ර භාවිතා කළ හැක:
කොන් දෙකක් සහ පැත්ත
කිසියම් ත්රිකෝණයක එක් පිටුවක් (c) සහ කෝණ දෙකක් (a සහ b) දන්නේ නම්, ඉතිරි පිටු ගණනය කිරීමට සයින් සූත්රය භාවිතා කරයි:
ඔබ තෙවන අගය y = 180 - (a + b) සොයා ගත යුතුය
ත්රිකෝණයක සියලුම කෝණවල එකතුව 180° වේ; 
පැති දෙකක් සහ කෝණයක්
ත්රිකෝණයක පැති දෙකක් (a සහ b) සහ ඒවා අතර කෝණය (y) දන්නේ නම්, තුන්වන පැත්ත ගණනය කිරීමට කොසයින් ප්රමේයය භාවිතා කළ හැක.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක පරිමිතිය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?
ත්රිකෝණාකාර ත්රිකෝණයක් යනු ත්රිකෝණයකි, ඉන් එකක් අංශක 90 ක් වන අතර අනෙක් දෙක උග්ර වේ. ගණනය කිරීම පරිමිතියඑබඳු ත්රිකෝණයඒ ගැන දන්නා තොරතුරු ප්‍රමාණය අනුව.
ඔබට එය අවශ්ය වනු ඇත
- අවස්ථාවට අනුව, ත්රිකෝණයේ පැති තුනේ කුසලතා 2 මෙන්ම එහි තියුණු කොනකින් එකකි.
උපදෙස්
පළමුක්රමය 1. පිටු තුනම දන්නේ නම් ත්රිකෝණයඑවිට, ලම්බක හෝ ත්රිකෝණාකාර නොවූවත්, පරිමිතිය ගණනය කරනු ලබන්නේ: P = A + B + C, හැකි නම්, c යනු කර්ණය වේ; a සහ b යනු කකුල් වේ.
දෙවැනික්රමය 2.
සෘජුකෝණාස්රයක ඇත්තේ පැති දෙකක් පමණක් නම්, පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරමින්, ත්රිකෝණයසූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: P = v (a2 + b2) + a + b හෝ P = v (c2 - b2) + b + c.
තෙවනක්‍රමය 3. කර්ණය c සහ උග්ර කෝණයක් වේවා? සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලබා දී, පරිමිතිය මේ ආකාරයෙන් සොයා ගැනීමට හැකි වනු ඇත: P = (1 + sin?
හතරවනක්රමය 4. ඔවුන් පවසන්නේ සෘජු ත්රිකෝණයේ එක් පාදයක දිග a ට සමාන වන අතර, ඊට ප්රතිවිරුද්ධව, උග්ර කෝණයක් ඇති බවයි. ඉන්පසු ගණනය කරන්න පරිමිතියමෙය ත්රිකෝණයසූත්රය අනුව සිදු කරනු ලැබේ: P = a * (1 / tg?
1 / පුතා? + 1)
පස්වනක්රමය 5.
ත්රිකෝණ මාර්ගගත ගණනය කිරීම
අපගේ කකුලට නායකත්වය දීමට සහ එයට ඇතුළත් කිරීමට ඉඩ දෙන්න, එවිට පරාසය ගණනය කරනු ලබන්නේ: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
සමාන වීඩියෝ
පයිතගරස් ප්රමේයය ඕනෑම ගණිතයක පදනම වේ. සත්‍ය ත්රිකෝණයක පැති අතර සම්බන්ධය නියම කරයි. දැන් මෙම ප්රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂි 367 ක් ඇත.
උපදෙස්
පළමුපයිතගරස් ප්‍රමේයයේ සම්භාව්‍ය පාසල් සූත්‍රගත කිරීම මෙසේ ශබ්ද කරයි: කර්ණය චතුරස්රය පාදවල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ.
කැටෙට් දෙකක සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක කර්ණය සොයා ගැනීමට, ඔබ පාදවල දිග වර්ග කිරීමට හරවා ඒවා එකලස් කර එකතුවේ වර්ගමූලය ගත යුතුය. ඔහුගේ ප්‍රකාශයේ මුල් සූත්‍රගත කිරීමේදී, වෙළඳපල පදනම් වන්නේ කර්ණය මත වන අතර, එය Catete විසින් නිපදවන ලද වර්ග 2ක වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ. කෙසේ වෙතත්, නූතන වීජීය සූත්‍රගත කිරීම සඳහා වසම් නියෝජනයක් හඳුන්වා දීම අවශ්ය නොවේ.
දෙවැනිඋදාහරණයක් ලෙස, කකුල් 7 cm සහ 8 සෙ.මී.
එවිට පයිතගරස් ප්රමේයය අනුව වර්ග කර්ණය R + S = 49 + 64 = 113 cm වේ. කර්ණය 113 හි වර්ගමූලයට සමාන වේ.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක කෝණ
ප්රතිඵලය වූයේ අසාධාරණ සංඛ්යාවකි.
තෙවනත්රිකෝණ කකුල් 3 සහ 4 නම්, කර්ණය = 25 = 5. ඔබ වර්ග මූලය ගත් විට, ඔබට ස්වභාවික අංකයක් ලැබේ. අංක 3, 4, 5 පයිගගරස් ත්රිත්ව සාදයි, මන්ද ඒවා x සම්බන්ධතාවය තෘප්තිමත් කරන නිසාද? +Y? = Z, එය ස්වභාවිකයි.
පයිතගරස් ත්‍රිත්වයක වෙනත් උදාහරණ නම්: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
හතරවනමෙම අවස්ථාවේ දී, කකුල් එකිනෙකට සමාන නම්, පයිතගරස් ප්රමේයය වඩාත් ප්රාථමික සමීකරණයක් බවට පත්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, එවැනි අතක් A අංකයට සමාන වන අතර කර්ණය C සඳහා අර්ථ දක්වනු ලැබේ, පසුව c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට A අවශ්ය නොවේ.
පස්වනපයිතගරස් ප්රමේයය සාමාන්ය කෝසයින් ප්‍රමේයට වඩා විශාල වූ විශේෂ අවස්ථාවක් වන අතර එය ත්රිකෝණයක පැති තුන අතර සම්බන්ධතාවක් ඇති කරන අතර එය ත්රිකෝණ දෙකක් අතර ඕනෑම කෝණයක් සඳහා වේ.
ඉඟිය 2: කකුල් සහ කෝණ සඳහා කර්ණය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?
කර්ණය අංශක 90 ක කෝණයට විරුද්ධ සෘජුකෝණාස්‍රය ත්රිකෝණයක පැත්ත ලෙස හැඳින්වේ.
උපදෙස්
පළමුසුප්‍රසිද්ධ කැතීටර මෙන්ම සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණයකදී, එම කෝණය ප්රතිවිරුද්ධ නම් / e ඇතුළත් නම්, කර්ණයට මෙම කෝණයේ කොසයින් / සයින් වලට කකුලේ අනුපාතයට සමාන ප්‍රමාණයක් තිබිය හැකිය. : H \u003d C1 (හෝ C2) / sin, H \u003d C1 (හෝ С2 ?) / cos ?. උදාහරණය: ABC ට AB උපකල්පිතය සහ සෘජු කෝණය C සහිත අක්‍රමවත් ත්රිකෝණයක් ලබා දෙන්න.
B අංශක 60 ක් සහ A අංශක 30 ක් වේවා. BC කඳේ දිග සෙන්ටිමීටර 8 කි. AB උපකල්පිතයේ දිග සොයාගත යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට ඉහත ක්රම වලින් එකක් භාවිතා කළ හැකිය: AB = BC / cos60 = 8 cm. AB = BC / sin30 = 8 cm.
කර්ණය යනු සෘජුකෝණාස්රයේ දිගම පැත්තයි ත්රිකෝණය. එය සෘජු කෝණයක පිහිටා ඇත. සෘජුකෝණාස්රයක කර්ණය සොයා ගැනීමේ ක්‍රමය ත්රිකෝණයමූලාශ්ර දත්ත මත පදනම්ව.
උපදෙස්
පළමුඔබේ කකුල් ලම්බක නම් ත්රිකෝණය, එවිට සෘජුකෝණාස්රයේ කර්ණය දිග ත්රිකෝණයපයිතගරස් ප්‍රතිසමයෙන් සොයාගත හැකිය - කර්ණයක දිගේ වර්ග පාදවල දිග වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ: c2 = a2 + b2, මෙහි a සහ b යනු දකුණේ පාදවල දිග වේ. ත්රිකෝණය .
දෙවැනිඑය දන්නා සහ එක් පාදයක් උග්ර කෝණයක තිබේ නම්, කර්ණය සොයා ගැනීමේ සූත්රය රඳා පවතින්නේ දන්නා කකුලට සාපේක්ෂව යම් කෝණයක සිටීම හෝ නොපැවතීම මත ය - යාබද (කකුල අසල පිහිටා ඇත), හෝ උපක්‍රමය. ප්රතිවිරුද්ධව (නිශ්චිත කෝණයේ ප්රතිවිරුද්ධ අවස්ථාව පිහිටා ඇත. V යනු කෝසයින කෝණයේ පාදයේ කර්ණයට සමාන වේ: a = a / cos; E, අනෙක් අතට, කර්ණය sinusoidal කෝණවල අනුපාතයට සමාන වේ: da = a / sin.
සමාන වීඩියෝ
ප්රයෝජනවත් ඉඟි
පැති 3:4:5 ලෙස සම්බන්ධ කර ඇති කෝණික ත්රිකෝණයක්, ඊජිප්තු ඩෙල්ටා ලෙස හැඳින්වේ, මෙම සංඛ්යා පැරණි ඊජිප්තුවේ ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පීන් විසින් බහුලව භාවිතා කරන ලදී.
පිටු සහ ප්රදේශය පූර්ණ සංඛ්යා ලෙස නිරූපණය වන ජෙරොන්ගේ ත්රිකෝණ පිළිබඳ සරලම උදාහරණය මෙයයි.
ත්රිකෝණයක් 90 ° කෝණයක් ඇති සෘජුකෝණාස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ. දකුණු කෙළවරට විරුද්ධ පැත්ත කර්ණය ලෙස හැඳින්වේ, අනෙක් පැත්ත කකුල් ලෙස හැඳින්වේ.
ඔබට නිත්‍ය ත්රිකෝණවල සමහර ගුණාංග මගින් සෘජුකෝණාස්රයක් සෑදෙන්නේ කෙසේදැයි සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, එනම් උග්ර කෝණවල එකතුව 90°ක් වන අතර, ප්රතිවිරුද්ධ පාදයේ දිග කර්ණයෙන් අඩක් වීම 30° වේ.
ලිපියක් සඳහා ඉක්මන් සංචාලනය
කපන ලද ත්රිකෝණය
සමාන ත්රිකෝණයක එක් ගුණයක් නම් එහි කෝණ දෙක සමාන වීමයි.
සෘජු සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක කෝණය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ එය දැනගත යුතුය:
- එය 90 ° ට වඩා නරක නැත.
- උග්ර කෝණවල අගයන් සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, i.e.
කෝණ α සහ β 45° වේ.
උග්ර කෝණවලින් එකක දන්නා අගය දන්නේ නම්, අනෙක සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය: β = 180º-90º-α හෝ α = 180º-90º-β.
එක් කෝණයක් 60° හෝ 30° නම් මෙම අනුපාතය බහුලව භාවිතා වේ.
ප්රධාන සංකල්ප
ත්රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණවල එකතුව 180° වේ.
එක මට්ටමක් නිසා දෙකක් තියුණුව පවතිනවා.
ත්රිකෝණය මාර්ගගතව ගණනය කරන්න
ඔබට ඒවා සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, ඔබ එය දැනගත යුතුය:
වෙනත් ක්රම
සෘජුකෝණාස්රයක උග්ර කෝණ අගයන් මධ්‍යන්‍යයෙන් ගණනය කළ හැක - ත්රිකෝණයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවක් සමඟ, සහ උස - රේඛාව කර්ණය වෙතින් සෘජුකෝණාස්‍රයකින් ඇද ගන්නා ලම්බකි.
මධ්‍යස්ථය දකුණු කෙළවරේ සිට කර්ණය මැද දක්වා විහිදීමට ඉඩ දෙන්න, සහ h උස වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, එය හැරෙන්නේ: 
- sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
- cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
- sinα = h / b; sin β = h / a.
පිටු දෙකක්
කර්ණය සහ එක් පාදයක දිග සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක හෝ පැති දෙකකින් දන්නේ නම්, තීව්‍ර කෝණවල අගයන් තීරණය කිරීම සඳහා ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතා භාවිතා කරනු ලැබේ:
- α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
- α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
- α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක දිග
ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සහ ප්රදේශය
පරිමිතිය
ඕනෑම ත්රිකෝණයක පරිධිය පැති තුනේ දිග එකතුවට සමාන වේ. ත්රිකෝණාකාර ත්රිකෝණයක් සොයා ගැනීම සඳහා පොදු සූත්රය වන්නේ:
මෙහි P යනු ත්රිකෝණයේ පරිධිය, a, b සහ c එහි පැති වේ.
සමාන ත්රිකෝණයක පරිමිතියඑහි පැතිවල දිග අනුපිළිවෙලින් ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් හෝ පැති දිග 2 කින් ගුණ කිරීමෙන් සහ නිෂ්පාදනයට පාදයේ දිග එකතු කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය.
සමතුලිත ත්රිකෝණයක් සොයා ගැනීම සඳහා සාමාන්ය සූත්රය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
මෙහි P යනු සමාන ත්රිකෝණයක පරිමිතිය, නමුත් b, b යනු පාදම වේ.
සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක පරිමිතියඑහි පැතිවල දිග අනුපිළිවෙලින් ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් හෝ ඕනෑම පිටුවක දිග 3 න් ගුණ කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය.
සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණවල දාරය සොයා ගැනීමේ සාමාන්ය සූත්රය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
මෙහි P යනු සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක පරිමිතිය වන අතර, a යනු එහි ඕනෑම පැත්තකි.
කලාපයේ
ඔබට ත්රිකෝණයක ප්රදේශය මැනීමට අවශ්ය නම්, ඔබට එය සමාන්තර චලිතයකට සංසන්දනය කළ හැකිය. ABC ත්රිකෝණය සලකා බලන්න:
අපි එකම ත්රිකෝණය ගෙන සමාන්තර චලිතයක් ලැබෙන පරිදි එය සවි කළහොත්, අපට මෙම ත්රිකෝණයට සමාන උස සහ පාදයක් සහිත සමාන්තර චලිතයක් ලැබේ:
මෙම අවස්ථාවේ දී, ත්රිකෝණවල පොදු පැත්ත අච්චු කරන ලද සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණය දිගේ එකට නැවී ඇත.
සමාන්තර චලිතයක ගුණ වලින්. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ සෑම විටම සමාන ත්රිකෝණ දෙකකට බෙදා ඇති බව දන්නා අතර, එවිට සෑම ත්‍රිකෝණයකම මතුපිට සමාන්තර චලිතයේ පරාසයෙන් අඩකට සමාන වේ.
සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය එහි පාද උසෙහි ගුණිතය වන බැවින්, ත්රිකෝණයේ වර්ගඵලය එම නිෂ්පාදනයෙන් අඩක් වනු ඇත. එබැවින් ΔABC සඳහා ප්රදේශය සමාන වනු ඇත
දැන් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න:
සමාන සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණ දෙකක් සෘජුකෝණාස්‍රයකට නැමිය හැකි අතර එය අනෙක් සෑම කර්ණයකටම හේත්තු වේ.
සෘජුකෝණාස්රයේ මතුපිට යාබද පැතිවල මතුපිට සමග සමපාත වන බැවින්, මෙම ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය සමාන වේ:
මෙයින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ ඕනෑම සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක මතුපිට 2න් බෙදූ පාදවල ගුණිතයට සමාන බවයි.
මෙම උදාහරණ වලින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ එක් එක් ත්රිකෝණයක මතුපිට දිගේ ගුණිතයට සමාන වන අතර උස පාදයට 2 න් බෙදනු ලැබේ.
ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සාමාන්ය සූත්රය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
මෙහි S යනු ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය, නමුත් එහි පාදය, නමුත් උස පහළට වැටේ a.
ත්රිකෝණයක් එහි එක් කෝණයක් 90º නම් සෘජුකෝණාස්‍රය ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු කෝණයට විරුද්ධ පැත්ත කර්ණය ලෙස හැඳින්වේ, අනෙක් දෙක කකුල් වේ.
සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක කෝණය සොයා ගැනීම සඳහා, සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණවල සමහර ගුණාංග භාවිතා කරනු ලැබේ, එනම්: උග්ර කෝණවල එකතුව 90º වන අතර, පාදයට ප්රතිවිරුද්ධ බව, එහි දිග කර්ණය අඩක් වන අතර, a කෝණය 30º ට සමාන වේ.
ඉක්මන් ලිපි සංචලනය
සමද්වීපාද ත්රිකෝණය
සමද්වීපාද ත්රිකෝණයක එක් ගුණයක් වන්නේ එහි කෝණ දෙකක් සමාන වීමයි. සෘජුකෝණාස්රාකාර සමද්විපාද ත්රිකෝණයක කෝණවල අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ එය දැනගත යුතුය:
- සෘජු කෝණයක් 90º වේ.
- උග්ර කෝණවල අගයන් සූත්රය මගින් තීරණය වේ: (180º-90º)/2=45º, i.е. α සහ β කෝණ 45º වේ.
උග්ර කෝණවලින් එකක අගය දන්නේ නම්, දෙවැන්න සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැකිය: β=180º-90º-α, හෝ α=180º-90º-β. බොහෝ විට, මෙම අනුපාතය භාවිතා කරනුයේ එක් කෝණයක් 60º හෝ 30º නම් වේ.
ප්රධාන සංකල්ප
ත්රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණවල එකතුව 180º වේ. එක් කෝණයක් නිවැරදි බැවින් අනෙක් දෙක තියුණු වනු ඇත. ඒවා සොයා ගැනීමට, ඔබ එය දැනගත යුතුය:
වෙනත් ක්රම
සෘජුකෝණාස්රයක උග්ර කෝණවල අගයන් මධ්‍යයේ අගය දැන ගැනීමෙන් ගණනය කළ හැක - ශීර්ෂයේ සිට ත්රිකෝණයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට ඇද ගන්නා ලද රේඛාවක් සහ උස - සරල රේඛාවක්, එය ලම්බකව පහත වැටී ඇත. නිවැරදි කෝණයේ සිට කර්ණය දක්වා. සෘජු කෝණයේ සිට කර්ණය මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය දක්වා අඳින මධ්‍යස්ථය වේ, h උස වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, එය හැරෙන්නේ: 
- sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
- cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
- sinα=h/b; sinβ=h/a.
පැති දෙකක්
සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක කර්ණය සහ එක් පාදයක් හෝ පැති දෙකක් දන්නේ නම්, තීව්‍ර කෝණවල අගයන් සෙවීමට ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතා භාවිතා කරයි:
- α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
- α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
- α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).
ජ්යාමිතිය තුළ, ත්රිකෝණවල පැති සම්බන්ධ ගැටළු බොහෝ විට පවතී. උදාහරණයක් ලෙස, අනෙක් දෙක දන්නා නම්, ත්රිකෝණයක පැත්තක් සොයා ගැනීමට බොහෝ විට අවශ්ය වේ.
ත්රිකෝණ යනු සමද්වීප, සමපාර්ශ්වික සහ සමපාර්ශ්වික වේ. සියලුම ප්‍රභේද වලින්, පළමු උදාහරණය සඳහා, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර එකක් තෝරා ගනිමු (එවැනි ත්රිකෝණයක, එක් කෝණ 90 °, එයට යාබද පැති කකුල් ලෙස හැඳින්වේ, තෙවනුව කර්ණය වේ).
ඉක්මන් ලිපි සංචලනය
සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක පැතිවල දිග
ගැටලුවේ විසඳුම මහා ගණිතඥ පයිතගරස්ගේ ප්රමේයය අනුගමනය කරයි. සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක පාදවල වර්ගවල එකතුව එහි කර්ණයේ වර්ගයට සමාන බව කියයි: a²+b²=c²
- කකුලේ දිගේ චතුරස්රය සොයන්න a;
- b කකුලේ වර්ග සොයා ගන්න;
- අපි ඒවා එකට තැබුවෙමු;
- ලබාගත් ප්රතිඵලයෙන්, අපි දෙවන උපාධියේ මූලය උපුටා ගනිමු.
උදාහරණය: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b²=3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. එනම් මෙම ත්රිකෝණයේ කර්ණයේ දිග 5 කි.
ත්රිකෝණයට සෘජු කෝණයක් නොමැති නම්, දෙපැත්තේ දිග ප්රමාණවත් නොවේ. මෙයට තුන්වන පරාමිතියක් අවශ්ය වේ: එය කෝණයක්, උස, ත්රිකෝණයක ප්රදේශය, එහි කොටා ඇති රවුමක අරය යනාදිය විය හැකිය.
පරිමිතිය දනී නම්
මෙම අවස්ථාවේ දී, කාර්යය වඩාත් පහසු වේ. පරිමිතිය (P) යනු ත්රිකෝණයේ සියලුම පැතිවල එකතුවයි: P=a+b+c. මේ අනුව, සරල ගණිතමය සමීකරණයක් විසඳීමෙන්, අපි ප්රතිඵලය ලබා ගනිමු.
උදාහරණය: P=18, a=7, b=6, c=?
1) අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු, සියලු දන්නා පරාමිති සමාන ලකුණේ එක් පැත්තකට මාරු කරමු:
2) ඒවා වෙනුවට අගයන් ආදේශ කර තෙවන පැත්ත ගණනය කරන්න:
c=18-7-6=5, එකතුව: ත්රිකෝණයේ තුන්වන පැත්ත 5 වේ.
කෝණය දන්නේ නම්
ත්රිකෝණයක තුන්වන පැත්ත ගණනය කිරීම සඳහා කෝණය සහ අනෙක් පැති දෙක ගණනය කිරීම සඳහා, විසඳුම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණය ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරනු ලැබේ. ත්රිකෝණයේ පැති සහ කෝණයේ සයින් සම්බන්ධය දැන ගැනීමෙන් තුන්වන පැත්ත ගණනය කිරීම පහසුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ දෙපැත්තටම වර්ග කර ඒවායේ ප්රතිඵල එකට එකතු කළ යුතුය. ඉන්පසු පැතිවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ගුණිතයෙන් අඩු කරන්න, කෝණයේ කෝසයිනයෙන් ගුණ කරන්න: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
ප්රදේශය දන්නේ නම්
මෙම අවස්ථාවේදී, එක් සූත්රයක් ප්රමාණවත් නොවේ.
1) පළමුව, අපි ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා වන සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ කිරීමෙන් පාපය γ ගණනය කරමු:
sin γ= 2S/(a*b)
2) පහත සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපි එකම කෝණයක කෝසයිනය ගණනය කරමු:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) නැවතත් අපි සයින් ප්රමේයය භාවිතා කරමු:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
මෙම සමීකරණයට විචල්‍යවල අගයන් ආදේශ කිරීමෙන්, අපි ගැටලුවට පිළිතුර ලබා ගනිමු.
පළමුවැන්න නිවැරදි කෝණයට යාබදව ඇති කොටස් වන අතර කර්ණය රූපයේ දිගම කොටස වන අතර අංශක 90 ක කෝණයට විරුද්ධ වේ. පයිතගරස් ත්රිකෝණයක් යනු ස්වභාවික සංඛ්‍යාවලට සමාන පැති ඇති එකකි; මෙම නඩුවේ ඔවුන්ගේ දිග "පයිතගරස් ත්රිත්ව" ලෙස හැඳින්වේ.
ඊජිප්තු ත්රිකෝණය
වර්තමාන පරම්පරාවට ජ්යාමිතිය පාසලේ උගන්වන ආකාරයෙන් ඉගෙන ගැනීම සඳහා එය සියවස් ගණනාවක් තිස්සේ සංවර්ධනය කර ඇත. මූලික කරුණ පයිතගරස් ප්රමේයය වේ. සෘජුකෝණාස්රයක පැති මුළු ලෝකයම දන්නා කරුණකි) 3, 4, 5 වේ.
"පයිතගරස් කලිසම් සෑම දිශාවකටම සමානයි" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය ස්වල්ප දෙනෙක් නොදනිති. කෙසේ වෙතත්, ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රමේයය මෙසේ ශබ්ද කරයි: c 2 (කර්ණය වර්ගය) \u003d a 2 + b 2 (කකුල් වර්ගවල එකතුව).
ගණිතඥයන් අතර පැති 3, 4, 5 (cm, m, etc.) සහිත ත්රිකෝණයක් "ඊජිප්තු" ලෙස හැඳින්වේ. රූපයේ ලියා ඇති දේ එකකට සමාන වීම සිත්ගන්නා කරුණකි. ක්‍රිස්තු පූර්ව 5 වැනි සියවසේදී පමණ ග්‍රීක දාර්ශනිකයන් ඊජිප්තුවට ගිය විට මෙම නම ඇති විය.
පිරමිඩ තැනීමේදී ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පීන් සහ මිනින්දෝරුවන් 3:4:5 අනුපාතය භාවිතා කළහ. එවැනි ව්‍යුහයන් සමානුපාතික, බැලීමට ප්‍රසන්න සහ ඉඩකඩ සහිත වූ අතර කලාතුරකින් කඩා වැටුණි.
සෘජු කෝණයක් තැනීම සඳහා, ගොඩනඟන්නන් ගැට 12 ක් බැඳ ඇති කඹයක් භාවිතා කළහ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් තැනීමේ සම්භාවිතාව 95% දක්වා වැඩි විය.
සංඛ්යා සමානාත්මතාවයේ සංඥා
- දෙවන ත්රිකෝණයේ එකම මූලද්‍රව්‍යවලට සමාන සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක සහ විශාල පැත්තක තියුණු කෝණයක් රූපවල සමානාත්මතාවයේ අවිවාදිත ලකුණකි. කෝණවල එකතුව සැලකිල්ලට ගනිමින්, දෙවන උග්ර කෝණ ද සමාන බව ඔප්පු කිරීම පහසුය. මේ අනුව, ත්රිකෝණ දෙවන නිර්ණායකයේ සමාන වේ.
- රූප දෙකක් එකිනෙක අධිස්ථාපනය වූ විට, අපි ඒවා භ්‍රමණය කරන්නේ, ඒකාබද්ධ වූ විට, ඒවා එක් සමද්වීපාද ත්රිකෝණයක් බවට පත් වන ආකාරයට ය. එහි දේපල අනුව, පැති, හෝ ඒ වෙනුවට, කර්ණය සමාන වේ, මෙන්ම පාදයේ කෝණ, එනම් මෙම සංඛ්යා සමාන වේ.
පළමු ලකුණ මගින්, ත්රිකෝණ සැබවින්ම සමාන බව ඔප්පු කිරීම ඉතා පහසු වේ, ප්රධාන දෙය නම් කුඩා පැති දෙක (එනම්, කකුල්) එකිනෙකට සමාන වේ.
II ලකුණට අනුව ත්රිකෝණ සමාන වනු ඇත, එහි සාරය කකුලේ සමානාත්මතාවය සහ උග්ර කෝණයයි.
සෘජු කෝණ ත්රිකෝණයේ ගුණාංග
සෘජු කෝණයකින් පහත් කරන ලද උස, රූපය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත.
සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක පැති සහ එහි මධ්‍යස්ථය රීතිය මගින් හඳුනාගැනීම පහසුය: කර්ණයට පහත හෙලන මධ්‍යස්ථය, එයින් අඩකට සමාන වේ. හෙරොන්ගේ සූත්රය සහ එය කකුල් වල නිෂ්පාදනයෙන් අඩකට සමාන බව ප්‍රකාශය මගින් සොයා ගත හැක.
සෘජුකෝණාස්රයක, 30 o, 45 o සහ 60 o කෝණවල ගුණ අදාළ වේ.
- 30 ° ක කෝණයක දී, ප්රතිවිරුද්ධ කකුල විශාලතම පැත්තේ 1/2 ට සමාන වනු ඇති බව මතක තබා ගත යුතුය.
- කෝණය 45o නම්, දෙවන තියුණු කෝණය ද 45o වේ. මෙයින් ඇඟවෙන්නේ ත්රිකෝණය සමද්විපාදය වන අතර එහි කකුල් සමාන බවයි.
- අංශක 60 ක කෝණයක ගුණය වන්නේ තුන්වන කෝණය අංශක 30 ක මිනුමක් ඇති බවයි.
ප්රදේශය සූත්‍ර තුනෙන් එකකින් සොයා ගැනීම පහසුය:
- උස සහ එය බැස යන පැත්ත හරහා;
- හෙරොන්ගේ සූත්රය අනුව;
- පැති දිගේ සහ ඒවා අතර කෝණය.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක පැති, හෝ ඒ වෙනුවට කකුල්, උස දෙකකින් අභිසාරී වේ. තෙවනුව සොයා ගැනීම සඳහා, ප්රතිඵලය වන ත්රිකෝණය සලකා බැලීම අවශ්ය වන අතර, පසුව, පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කර, අවශ්ය දිග ගණනය කරන්න. මෙම සූත්‍රයට අමතරව, ප්රදේශය මෙන් දෙගුණයක අනුපාතය සහ කර්ණයේ දිග ද ඇත. සිසුන් අතර වඩාත් පොදු ප්රකාශනය වන්නේ පළමු, එය අඩු ගණනය කිරීම් අවශ්ය වේ.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයකට අදාළ වන ප්රමේය
සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක ජ්‍යාමිතියට ප්රමේය භාවිතය ඇතුළත් වේ:
