අර්ථ දැක්වීම 1. තලයක, L-අක්ෂයට A ලක්ෂ්යයේ සමාන්තර ප්රක්ෂේපණය ලක්ෂ්‍යයකි - සැලසුම් දිශාව සඳහන් කරන දෛශිකයට සමාන්තරව A ලක්ෂ්යය හරහා ඇද ගන්නා ලද සරල රේඛාවක් සහිත l-අක්ෂයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය.
අර්ථ දැක්වීම 2. දෛශිකයක් l-අක්ෂයට (දෛශිකයක් මත) සමාන්තර ප්රක්ෂේපණය යනු පදනමට සාපේක්ෂව දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංකයයි. l අක්ෂය, එහිදී ලක්ෂ්ය හා සමාන්තර ප්‍රක්ෂේපන A සහ B ලක්ෂ්ය පිළිවෙළින්, l අක්ෂය මතට (රූපය 1).
නිර්වචනය අනුව, අපට තිබේ
අර්ථ දැක්වීම 3. if සහ l අක්ෂයේ පදනම cartesian, එනම්, දෛශිකය l-අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය කිරීම විකලාංග ලෙස හැඳින්වේ (රූපය 2).
අභ්‍යවකාශයේදී, දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීමේ නිර්වචනය 2 වලංගු වේ, ප්රක්ෂේපණ දිශාව පමණක් collinear නොවන දෛශික දෙකකින් ලබා දෙයි (රූපය 3).
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීමේ නිර්වචනයේ සිට, දෛශිකයේ සෑම ඛණ්ඩාංකයක්ම මෙම දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය අනුරූප පාදක දෛශිකය විසින් තීරණය කරන ලද අක්ෂය වෙත ප්රක්ෂේපණය කරයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සැලසුම් දිශාව වෙනත් පාදක දෛශික දෙකකින් සකසා ඇත, සැලසුම අභ්‍යවකාශයේ සිදු කරන්නේ නම් (සැලකිය යුතු) හෝ වෙනත් පාදක දෛශිකයකින්, සැලසුම තලයක සලකා බැලුවහොත් (රූපය 4).
ප්රමේයය 1. දෛශිකයක විකලාංග ප්රක්ෂේපණය l-අක්ෂයට දෛශිකයේ මාපාංකයේ ගුණිතයට සමාන වේ, l-අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව අතර කෝණයේ කෝසයිනය සහ, i.e.
අනිත් අතට
අපි සොයාගන්නේ සිට
සමානාත්මතාවය (2) බවට AC ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
සංඛ්යා සිට xසහ සලකා බලන අවස්ථා දෙකෙහිම එකම ලකුණක් ((රූපය 5, a) ; (රූපය 5, b) , එවිට සමානාත්මතාවය (4) අදහස් කරයි
අදහස් දක්වන්න. අනාගතයේ දී, අපි දෛශිකයේ අක්ෂය මත විකලාංග ප්රක්ෂේපණය පමණක් සලකා බලමු, එබැවින් අංකනයෙහි "orth" (orthogonal) යන වචනය ඉවත් කරනු ලැබේ.
ගැටළු විසඳීමේදී අනාගතයේදී භාවිතා කරන සූත්ර ගණනාවක් අපි ඉදිරිපත් කරමු.
a) දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම.
එසේ නම්, සූත්‍රය (5) අනුව දෛශිකය මත ඇති විකලාංග ප්රක්ෂේපණයට ආකෘතිය ඇත
ඇ) ලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ඇති දුර.
b සාමාන්ය දෛශිකයක් සහිත දී ඇති තලයක් ද, M ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් ද,
d - M ලක්ෂයේ සිට තලය b දක්වා දුර (රූපය 6).
N යනු b තලයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් නම් සහ M සහ N ලක්ෂ්‍යවල අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය වේ නම්, එවිට
- G) ඡේදනය වන රේඛා අතර දුර.
a සහ b ඡේදනය වන රේඛා ලබා දෙන්න, ඒවාට ලම්බකව දෛශිකයක් වීමට ඉඩ දෙන්න, A සහ B පිළිවෙළින් a සහ b රේඛාවල අත්තනෝමතික ලක්ෂ්ය වේ (රූපය 7), සහ A සහ B ලක්ෂ්‍යවල ප්රක්ෂේපණය කරන්න, ඉන්පසු
e) ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර.
ඉඩ එල්- දිශා දෛශිකය සහිත රේඛාවක් ලබා දී ඇත, M - ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය,
N - රේඛාව මත එහි ප්රක්ෂේපණය එල්, පසුව - අපේක්ෂිත දුර (රූපය 8).
A යනු රේඛාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් නම් එල්, එවිට දකුණු ත්‍රිකෝණයේ MNA කර්ණය MA සහ කකුල් සොයාගත හැකිය. අදහස්,
ඉ) රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය.
දී ඇති රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වීමට ඉඩ දෙන්න එල්, - ලබා දී ඇති තලයේ සාමාන්ය දෛශිකය b, - සරල රේඛාවක ප්රක්ෂේපණය එල්තලයට b (රූපය 9).
ඔබ දන්නා පරිදි, රේඛාව අතර කෝණය q එල්සහ එහි ප්රක්ෂේපණය b තලය මතට රේඛාව සහ තලය අතර කෝණය ලෙස හැඳින්වේ. අපිට තියනවා
දෛශික-ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය මගින් මෙට්‍රික් ගැටළු විසඳීම සඳහා උදාහරණ දෙමු.
සංවෘත බල බහුඅස්‍ර තැනීමෙන් අභිසාරී බලවේගවල සමතුලිතතාවය පිළිබඳ ගැටළු විසඳීම අපහසු ඉදිකිරීම් සමඟ සම්බන්ධ වේ. එවැනි ගැටළු විසඳීම සඳහා විශ්වීය ක්රමයක් වන්නේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂයන්හි දී ඇති බලවේගවල ප්රක්ෂේපණ තීරණය කිරීම සහ මෙම ප්රක්ෂේපණ සමඟ ක්රියා කිරීම සඳහා සංක්රමණය වීමයි. අක්ෂය සරල රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ, එය නිශ්චිත දිශාවකට පවරා ඇත.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම අදිශ අගයක් වන අතර, එය තීරණය වන්නේ දෛශිකයේ ආරම්භයේ සහ අවසානයේ සිට එයට වැටී ඇති ලම්බක මගින් කපා හරින ලද අක්ෂයේ කොටස මගිනි.
ප්රක්ෂේපණයේ ආරම්භයේ සිට එහි අවසානය දක්වා දිශාව අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමග සමපාත වන්නේ නම් දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය ධනාත්මක ලෙස සලකනු ලැබේ. ප්රක්ෂේපණයේ ආරම්භයේ සිට එහි අවසානය දක්වා වූ දිශාව අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාවට විරුද්ධ නම් දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය සෘණ ලෙස සලකනු ලැබේ.
මේ අනුව, ඛණ්ඩාංක අක්ෂය මත බලයේ ප්රක්ෂේපණය බලයේ මාපාංකයේ ගුණිතය සහ බල දෛශිකය සහ අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව අතර කෝණයේ කෝසයින් සමාන වේ.
අක්ෂයකට බල ප්රක්ෂේපණය කිරීමේ අවස්ථා ගණනාවක් සලකා බලන්න:
බල දෛශිකය එෆ්(රූපය 15) x-අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ තියුණු කෝණයක් සාදයි.
ප්රක්ෂේපණය සොයා ගැනීම සඳහා, බල දෛශිකයේ ආරම්භයේ සහ අවසානයේ සිට අපි අක්ෂයට ලම්බක පහත් කරමු. ඔහ්; අපට ලැබෙනවා
1. F x = එෆ් cosα
මෙම නඩුවේ දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය ධනාත්මක වේ
ශක්තිය එෆ්(රූපය 16) අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ වේ xඅඳුරු කෝණය α.
ඉන්පසු එෆ් x= එෆ් cos α, නමුත් α = 180 0 සිට - φ,
එෆ් x= එෆ් cosα = එෆ් cos180 0 - φ =- එෆ් cos phi.
බල ප්රක්ෂේපණය එෆ්අක්ෂය අනුව ඔහ්මෙම නඩුවේ ඍණාත්මක වේ.
ශක්තිය එෆ්(රූපය 17) අක්ෂයට ලම්බකව ඔහ්.
අක්ෂය මත F බලයේ ප්රක්ෂේපණය xශුන්ය
එෆ් x= එෆ් cos 90° = 0.
ගුවන් යානයක පිහිටා ඇති බලය කොහොමද(රූපය 18), ඛණ්ඩාංක අක්ෂ දෙකක් මත ප්රක්ෂේපණය කළ හැක ඔහ්හා OU.
ශක්තිය එෆ්සංරචක වලට බෙදිය හැකිය: එෆ් x සහ එෆ් y . දෛශික මාපාංකය එෆ් x දෛශික ප්රක්ෂේපණයට සමාන වේ එෆ්අක්ෂය අනුව ගොනා, සහ දෛශිකයේ මාපාංකය එෆ් y දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණයට සමාන වේ එෆ්අක්ෂය අනුව අයියෝ.
Δ සිට OAB: එෆ් x= එෆ් cosα, එෆ් x= එෆ් sinα.
Δ සිට එස්.එල්.ඒ: එෆ් x= එෆ් cos phi, එෆ් x= එෆ්පව් ෆයි.
පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතයෙන් බල මාපාංකය සොයාගත හැකිය:
ඕනෑම අක්ෂයක දෛශික එකතුවේ හෝ ප්‍රතිඵලයේ ප්රක්ෂේපණය එකම අක්ෂයේ ඇති දෛශිකවල නියමවල ප්රක්ෂේපණවල වීජීය එකතුවට සමාන වේ.
අභිසාරී බලවේග සලකා බලන්න එෆ් 1 , එෆ් 2 , එෆ් 3, සහ එෆ් 4, (රූපය 19, a). මෙම බලවේගවල ජ්යාමිතික එකතුව හෝ ප්‍රතිඵලය එෆ්බල බහුඅස්‍රයේ සංවෘත පැත්ත මගින් තීරණය වේ
බල බහුඅස්‍රයේ සිරස් වල සිට අක්ෂය මතට ඇද දමන්න xලම්බක.
සම්පුර්ණ කරන ලද ඉදිකිරීම් වලින් සෘජුවම බලවේගවල ලබාගත් ප්රක්ෂේපණ සැලකිල්ලට ගනිමින්, අප සතුව ඇත
එෆ්= එෆ් 1x+ එෆ් 2x+ එෆ් 3x+ එෆ් 4x
මෙහි n යනු දෛශික පද ගණනයි. ඔවුන්ගේ ප්රක්ෂේපණය සුදුසු ලකුණක් සමඟ ඉහත සමීකරණයට ඇතුල් වේ.
තලයක, බලවල ජ්යාමිතික එකතුව ඛණ්ඩාංක අක්ෂ දෙකකට සහ අභ්‍යවකාශයේදී පිළිවෙලින් තුනකට ප්රක්ෂේපණය කළ හැකිය.
හැඳින්වීම ……………………………………………………………………………………………………
1. දෛශිකයක සහ අදිශයක අගය ………………………………………….4
2. ලක්ෂ්‍යයක ප්රක්ෂේපණය, අක්ෂය සහ ඛණ්ඩාංකය පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම.........................5
3. අක්ෂයට දෛශික ප්රක්ෂේපණය …………………………………………………… 6
4. දෛශික වීජ ගණිතයේ මූලික සූත්‍රය............................................8
5. දෛශිකයේ මොඩියුලය එහි ප්රක්ෂේපණ වලින් ගණනය කිරීම …………………….9
නිගමනය ……………………………………………………………………………… 11
සාහිත්‍යය ……………………………………………………………………………… 12
හැදින්වීම:
භෞතික විද්යාව ගණිතය සමඟ අවියෝජනීය ලෙස බැඳී පවතී. ගණිතය මගින් භෞතික විද්‍යාවට පර්යේෂණාත්මක හෝ න්‍යායික පර්යේෂණයක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සොයා ගන්නා භෞතික ප්රමාණ අතර සම්බන්ධතාවයේ සාමාන්ය සහ නිරවද්‍ය ප්‍රකාශනයක ක්‍රම සහ ශිල්පීය ක්‍රම ලබා දෙයි.සියල්ලට පසු භෞතික විද්‍යාවේ ප්රධාන පර්යේෂණ ක්‍රමය පර්යේෂණාත්මක ය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ විද්යාඥයා මිනුම් ආධාරයෙන් ගණනය කිරීම් හෙළි කරන බවයි. විවිධ භෞතික ප්රමාණ අතර සම්බන්ධය දක්වයි. එවිට, සෑම දෙයක්ම ගණිතයේ භාෂාවට පරිවර්තනය වේ. ගණිතමය ආකෘතියක් නිර්මාණය වෙමින් පවතී. භෞතික විද්යාව යනු සරලම සහ ඒ අතරම වඩාත් සාමාන්ය නීති අධ්යයනය කරන විද්‍යාවකි. භෞතික විද්‍යාවේ කර්තව්‍යය වන්නේ භෞතික ලෝකය පිළිබඳ චිත්‍රයක් අපගේ මනස තුළ නිර්මාණය කිරීම වන අතර එය එහි ගුණාංග සම්පූර්ණයෙන්ම පිළිබිඹු කරන අතර මූලද්රව්ය අතර පවතින ආකෘතියේ මූලද්රව්ය අතර එවැනි සම්බන්ධතා සපයයි.
ඉතින්, භෞතික විද්යාව අප අවට ලෝකයේ ආකෘතියක් නිර්මාණය කර එහි ගුණාංග අධ්යයනය කරයි. නමුත් ඕනෑම ආකෘතියක් සීමිතයි. විශේෂිත සංසිද්ධියක ආකෘති නිර්මාණය කිරීමේදී, දී ඇති සංසිද්ධි පරාසයක් සඳහා අත්යවශ්ය වන ගුණාංග සහ සම්බන්ධතා පමණක් සැලකිල්ලට ගනී. මෙය විද්යාඥයෙකුගේ කලාවයි - ප්රධාන දෙය තෝරා ගැනීමට සියලු විවිධත්වයන්ගෙන්.
භෞතික ආකෘති ගණිතමය වේ, නමුත් ගණිතය ඒවායේ පදනම නොවේ. භෞතික ප්රමාණ අතර ප්‍රමාණාත්මක සම්බන්ධතා මිනුම්, නිරීක්ෂණ සහ පර්යේෂණාත්මක අධ්‍යයනයන්හි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස පැහැදිලි කර ඇති අතර ඒවා ප්රකාශ වන්නේ ගණිතයේ භාෂාවෙන් පමණි. කෙසේ වෙතත්, භෞතික සිද්ධාන්ත ගොඩනැගීම සඳහා වෙනත් භාෂාවක් නොමැත.
1. දෛශිකයක සහ අදිශයක අගය.
භෞතික විද්‍යාවේ සහ ගණිතයේ දී දෛශිකයක් යනු එහි සංඛ්‍යාත්මක අගය සහ දිශාව අනුව සංලක්ෂිත වන ප්‍රමාණයකි. භෞතික විද්‍යාවේදී, බලය, පිහිටීම, වේගය, ත්වරණය, ව්‍යවර්ථය, ගම්‍යතාවය, විද්‍යුත් සහ චුම්බක ක්ෂේත්‍ර වැනි දෛශික වන වැදගත් ප්රමාණ රාශියක් ඇත. ඒවා සාමාන්ය සංඛ්‍යාවකින් විස්තර කළ හැකි ස්කන්ධය, පරිමාව, පීඩනය, උෂ්ණත්වය සහ ඝනත්වය වැනි අනෙකුත් ප්රමාණ සමඟ සංසන්දනය කළ හැකි අතර ඒවා හඳුන්වන්නේ " පරිමාණයන්".
ඒවා ලියා ඇත්තේ සාමාන්ය අකුරුවල අකුරුවලින් හෝ අංකවලින් (a, b, t, G, 5, -7 ....). ස්කේලර් ධනාත්මක හෝ ඍණ විය හැක. ඒ අතරම, සමහර අධ්‍යයන වස්තූන් සතුව එවැනි ගුණාංග තිබිය හැකිය, සංඛ්‍යාත්මක මිනුමක් පිළිබඳ දැනුම ප්‍රමාණවත් නොවන සම්පූර්ණ විස්තරයක් සඳහා, මෙම ගුණාංග අවකාශයේ දිශාවකින් සංලක්ෂිත කිරීම ද අවශ්ය වේ. එවැනි ගුණාංග දෛශික ප්රමාණ (දෛශික) මගින් සංලක්ෂිත වේ. දෛශික, අදිශ මෙන් නොව, තද අකුරින් දැක්වේ: a, b, g, F, C ....
බොහෝ විට, දෛශිකයක් සාමාන්ය (තද නොවන) අකුරකින් දැක්වේ, නමුත් ඊට ඉහළින් ඊතලයක් ඇත:
මීට අමතරව, දෛශිකයක් බොහෝ විට අකුරු යුගලයකින් (සාමාන්යයෙන් ලොකු අකුරින්) දක්වනු ලැබේ, පළමු අකුරෙන් දෛශිකයේ ආරම්භය ද දෙවන අකුරෙන් එහි අවසානය ද දක්වයි.
දෛශිකයේ මොඩියුලය, එනම්, යොමු කරන ලද සරල රේඛා කොටසේ දිග, දෛශිකයේම අකුරු වලින්, නමුත් සාමාන්ය (තද නොවන) ලිවීමේදී සහ ඒවාට ඉහළින් ඊතලයක් නොමැතිව හෝ දෛශිකය (එනම්, තද හෝ නිත්‍ය, නමුත් ඊතල සහිත), නමුත් පසුව දෛශික තනතුර සිරස් ඉරි වලින් කොටා ඇත.
දෛශිකයක් යනු එකවර විශාලත්වය සහ දිශාව යන දෙකින්ම සංලක්ෂිත සංකීර්ණ වස්තුවකි.
ධනාත්මක හා සෘණ දෛශික ද නොමැත. නමුත් දෛශික එකිනෙකට සමාන විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, a සහ b එකම මොඩියුල ඇති අතර එකම දිශාවකට යොමු කරන විට මෙය වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, වාර්තාව ඒ= ආ. දෛශික සංකේතයට පෙර සෘණ ලකුණක් යෙදිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, -c, කෙසේ වෙතත්, මෙම ලකුණ සංකේතාත්මකව පෙන්නුම් කරන්නේ දෛශික -c දෛශිකයට සමාන මාපාංකයක් ඇති නමුත් එය යොමු කර ඇත්තේ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාව.
දෛශිකය -c දෛශිකයේ ප්රතිවිරුද්ධ (හෝ ප්‍රතිලෝම) ලෙස හැඳින්වේ.
කෙසේ වෙතත්, භෞතික විද්‍යාවේදී, එක් එක් දෛශිකය නිශ්චිත අන්තර්ගතයකින් පුරවා ඇති අතර, එකම වර්ගයේ දෛශික සංසන්දනය කිරීමේදී (උදාහරණයක් ලෙස, බලවේග), ඒවායේ යෙදුමේ ලක්ෂ්ය ද සැලකිය යුතු වැදගත්කමක් ලබා ගත හැකිය.
2. ලක්ෂ්යයේ ප්රක්ෂේපණය, අක්ෂය සහ ඛණ්ඩාංකය තීරණය කිරීම.
අක්ෂයදිශාවක් ලබා දී ඇති සරල රේඛාවකි.
අක්ෂය ඕනෑම අකුරකින් දැක්වේ: X, Y, Z, s, t ... සාමාන්යයෙන්, අක්ෂයේ ලක්ෂ්යයක් (අත්තනෝමතික ලෙස) තෝරා ගනු ලැබේ, එය මූලාරම්භය ලෙස හැඳින්වෙන අතර රීතියක් ලෙස O අකුරෙන් දැක්වේ. අපට උනන්දුවක් දක්වන වෙනත් ස්ථාන වෙත ඇති දුර මෙම ලක්ෂ්‍යයෙන් මනිනු ලැබේ.
ලක්ෂ්ය ප්රක්ෂේපණයඅක්ෂය මත මෙම ලක්ෂ්යයේ සිට දී ඇති අක්ෂයට පහත වැටී ඇති ලම්බක පාදය ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, ලක්ෂ්යයක් අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය කිරීම ලක්ෂ්‍යයකි.
ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංකයදී ඇති අක්ෂයක් මත අක්ෂයේ ආරම්භය සහ ලක්ෂ්යයේ ප්‍රක්ෂේපනය අතර අක්ෂයේ කොටසේ දිගට (තෝරාගත් පරිමාණයෙන්) නිරපේක්ෂ අගය සමාන වන සංඛ්‍යාවක් ලෙස හැඳින්වේ. ලක්ෂ්යයේ ප්රක්ෂේපණය එහි ආරම්භයේ සිට අක්ෂයේ දිශාවට පිහිටා තිබේ නම් සහ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවේ නම් සෘණ ලකුණක් සමඟ මෙම සංඛ්‍යාව ප්ලස් ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ.
3. දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම යනු දෛශිකයක අදිශ ප්රක්ෂේපණය මෙම අක්ෂයට සහ මෙම අක්ෂයේ ඒකක දෛශිකය මතට ගුණ කිරීමෙන් ලැබෙන දෛශිකයකි. උදාහරණයක් ලෙස, x යනු දෛශිකයේ a X අක්ෂය මත ඇති අදිශ ප්රක්ෂේපණය නම්, x i යනු එහි දෛශික ප්රක්ෂේපණය මෙම අක්ෂය මතට වේ.
දෛශික ප්රක්ෂේපණය දෛශිකයේ ආකාරයටම, නමුත් දෛශිකය ප්රක්ෂේපණය කර ඇති අක්ෂයේ දර්ශකය සමඟ දෛශික ප්රක්ෂේපණය දක්වමු. එබැවින්, X අක්ෂය මත දෛශිකයේ a දෛශික ප්රක්ෂේපණය x (දෛශිකය සහ අක්ෂයේ නමේ උපස්ථරය දක්වන තද අකුරින්) හෝ
(දෛශිකයක් අඟවන තද නොවන අකුරක්, නමුත් ඉහලින් ඊතලයක් (!) සහ අක්ෂයේ නමේ උපසිරැසියක් සහිතව).පරිමාණ ප්රක්ෂේපණයඑක් අක්ෂයකට දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ අංකය, එහි නිරපේක්ෂ අගය ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ සහ දෛශිකයේ අවසාන ලක්ෂ්යයේ ප්‍රක්ෂේපන අතර කොටා ඇති අක්ෂයේ (තෝරාගත් පරිමාණයේ) කොටසේ දිගට සමාන වේ. සාමාන්යයෙන් ප්රකාශනය වෙනුවට පරිමාණ ප්රක්ෂේපණයසරලව කියන්න - ප්රක්ෂේපණය. ප්රක්ෂේපණය ප්රක්ෂේපණය කරන ලද දෛශිකය (සාමාන්ය, නිර්භීත නොවන ලිවීමේදී), මෙම දෛශිකය ප්රක්ෂේපණය කරන ලද අක්ෂයේ නමේ (සාමාන්යයෙන්) උපක්‍රමයක් සමඟ එකම අකුරකින් දැක්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකයක් x-අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය කරන්නේ නම් ඒ,එවිට එහි ප්රක්ෂේපණය x ලෙස දැක්වේ. එම දෛශිකය වෙනත් අක්ෂයකට ප්රක්ෂේපණය කරන විට, අක්ෂය Y නම්, එහි ප්රක්ෂේපණය y ලෙස දක්වනු ලැබේ.
ප්රක්ෂේපණය ගණනය කිරීම සඳහා දෛශිකයඅක්ෂයක් මත (උදාහරණයක් ලෙස, X අක්ෂය) ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය එහි අවසාන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකයෙන් අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.
සහ x \u003d x k - x n.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම සංඛ්‍යාවකි.එපමණක් නොව, x k හි අගය x n හි අගයට වඩා වැඩි නම් ප්රක්ෂේපණය ධනාත්මක විය හැක.
x k හි අගය x n හි අගයට වඩා අඩු නම් සෘණ
සහ x k x n ට සමාන නම් බිංදුවට සමාන වේ.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම දෛශිකයේ මාපාංකය සහ එම අක්ෂය සමඟ සාදන කෝණය දැන ගැනීමෙන් ද සොයාගත හැකිය.
a x = a Cos α බව රූපයෙන් පෙනේ
එනම්, දෛශිකය අක්ෂයට ප්රක්ෂේපණය කිරීම දෛශිකයේ මාපාංකයේ ගුණිතයට සහ අක්ෂයේ දිශාව අතර කෝණයේ කෝසයිනයට සමාන වේ. දෛශික දිශාව. කෝණය තියුණු නම්, එසේ නම්
Cos α > 0 සහ a x > 0, සහ obtuse නම්, obtuse කෝණයක cosine සෘණ වන අතර, දෛශිකය අක්ෂය වෙත ප්රක්ෂේපණය කිරීම ද ඍණ වේ.
අක්ෂයේ සිට වාමාවර්තව ගණනය කරන ලද කෝණ ධනාත්මක ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ දිශාවට - සෘණ. කෙසේ වෙතත්, කොසයිනය ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් වන බැවින්, එනම් Cos α = Cos (− α), ප්රක්ෂේපණ ගණනය කිරීමේදී, කෝණ දක්ෂිණාවර්තව සහ වාමාවර්තව ගණනය කළ හැක.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම සොයා ගැනීම සඳහා, මෙම දෛශිකයේ මොඩියුලය අක්ෂයේ දිශාව සහ දෛශිකයේ දිශාව අතර කෝණයේ කෝසයින් මගින් ගුණ කළ යුතුය.
4. දෛශික වීජ ගණිතයේ මූලික සූත්‍රය.
අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක X සහ Y අක්ෂ මත දෛශිකයක් a ප්රක්ෂේපණය කරමු. මෙම අක්ෂ මත දෛශික a හි දෛශික ප්‍රක්ෂේපන සොයන්න:
සහ x = a x i, සහ y = a y j.
නමුත් දෛශික එකතු කිරීමේ රීතියට අනුව
a \u003d a x + a y.
a = a x i + a y j.
මේ අනුව, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක (හෝ එහි දෛශික ප්රක්ෂේපණ අනුව) එහි ප්රක්ෂේපණ සහ orts අනුව දෛශිකයක් ප්රකාශ කර ඇත.
දෛශික ප්රක්ෂේපණ a x සහ a y දෛශිකයේ සංරචක හෝ සංරචක ලෙස හැඳින්වේ. අප විසින් සිදු කරන ලද මෙහෙයුම සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අක්ෂය ඔස්සේ දෛශිකයේ වියෝජනය ලෙස හැඳින්වේ.
දෛශිකය අභ්‍යවකාශයේදී ලබා දෙන්නේ නම්, එවිට
a = a x i + a y j + a z k.
මෙම සූත්‍රය දෛශික වීජ ගණිතයේ මූලික සූත්‍රය ලෙස හැඳින්වේ. හැබයි ඒකත් මෙහෙම ලියන්න පුළුවන්.
දෛශික දෙකකට ඉඩ දී අභ්‍යවකාශයේදී ලබා දෙන්න. අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයකින් පසෙකට දමන්න ඕදෛශික සහ . කෙළවරේදෛශික අතර සහ කෝණවලින් කුඩාම ලෙස හැඳින්වේ. දක්වා ඇත 
.
අක්ෂය සලකා බලන්න එල්සහ එය මත ඒකක දෛශිකයක් (එනම්, දිග එකකට සමාන දෛශිකයක්).
දෛශිකය සහ අක්ෂය අතර කෝණය එල්දෛශික අතර කෝණය තේරුම් ගන්න සහ .
ඉතින් ඉඩ දෙන්න එල්යම් අක්ෂයක් වන අතර දෛශිකයකි.
මගින් දක්වන්න A 1හා B1අක්ෂය මත ප්රක්ෂේපණ එල්ලකුණු ඒහා බී. අපි එහෙම මවාපාමු A 1ඛණ්ඩාංකයක් ඇත x 1, ඒ B1- සම්බන්ධීකරණය x2අක්ෂය මත එල්.
ඉන්පසු ප්රක්ෂේපණයඅක්ෂයට දෛශිකය එල්වෙනස ලෙස හැඳින්වේ x 1 – x2මෙම අක්ෂය මත දෛශිකයේ අවසානය සහ ආරම්භයේ ප්රක්ෂේපණවල ඛණ්ඩාංක අතර.
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම එල්අපි සඳහන් කරන්නෙමු.
දෛශිකය සහ අක්ෂය අතර කෝණය නම් බව පැහැදිලිය එල්එවිට තියුණු x2> x 1, සහ ප්රක්ෂේපණය x2 – x 1> 0; මෙම කෝණය නොපැහැදිලි නම්, එසේ නම් x2< x 1සහ ප්රක්ෂේපණය x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси එල්, එවිට x2= x 1හා x2– x 1=0.
මේ අනුව, දෛශිකයේ අක්ෂය මත ප්රක්ෂේපණය එල්කොටසෙහි දිග වේ A 1 B 1යම් ලකුණක් සමඟ ගෙන ඇත. එබැවින්, දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම සංඛ්‍යාවක් හෝ අදිශයක් වේ.
එක් දෛශිකයක් තවත් දෛශිකයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම සමාන ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත. මෙම අවස්ථාවේ දී, මෙම දෛශිකයේ කෙළවරේ ප්රක්ෂේපණ 2 වන දෛශිකය පිහිටා ඇති රේඛාව මත දක්නට ලැබේ.
ප්රධාන සමහරක් බලමු ප්රක්ෂේපණ ගුණාංග.
දෛශිකයන්ගේ රේඛීයව යැපෙන සහ රේඛීයව ස්වාධීන පද්ධති
අපි දෛශික කිහිපයක් සලකා බලමු.
රේඛීය සංයෝජනයමෙම දෛශික වලින් ආකෘති පත්‍රයේ ඕනෑම දෛශිකයක් වේ, එහිදී සමහර සංඛ්යා ඇත. සංඛ්යා රේඛීය සංයෝජනයේ සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී ලබා දී ඇති දෛශික අනුව රේඛීයව ප්රකාශ වන බව ද කියනු ලැබේ, i.e. රේඛීය මෙහෙයුම් මගින් ඔවුන්ගෙන් ලබා ගන්නා ලදී.
උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික තුනක් ලබා දෙන්නේ නම්, දෛශික ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනය ලෙස සැලකිය හැකිය: 
දෛශිකයක් සමහර දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කරන්නේ නම්, එය එසේ යැයි කියනු ලැබේ දිරාපත් වී ඇතමෙම දෛශික දිගේ.
දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී, එවැනි සංඛ්යා තිබේ නම්, සියල්ලම ශුන්යයට සමාන නොවේ, බව 
. මෙම දෛශිකවලින් එකක් අනෙක් ඒවා අනුව රේඛීයව ප්රකාශ කළහොත් දී ඇති දෛශික රේඛීයව රඳා පවතින බව පැහැදිලිය.
එසේ නොමැති නම්, i.e. විට අනුපාතය සිදු කරන විට පමණි 
, මෙම දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීන.
ප්රමේයය 1.ඕනෑම දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පවතී නම් සහ ඒවා collinear නම් පමණි.
සාක්ෂි:
පහත ප්රමේයය ද ඒ හා සමානව ඔප්පු කළ හැක.
ප්රමේයය 2.දෛශික තුනක් රේඛීයව රඳා පවතී නම් සහ ඒවා කොප්ලැනර් නම් පමණි.
සාක්ෂි.
පදනම
පදනමයනු ශුන්ය නොවන රේඛීය ස්වාධීන දෛශික එකතුවකි. පදනමේ මූලද්රව්ය මගින් දක්වනු ඇත.
කලින් උපවගන්තියේදී අපි දැක්කා තලයේ ඇති collinear නොවන දෛශික දෙකක් රේඛීයව ස්වාධීන බව. එබැවින්, පෙර ඡේදයේ ප්රමේයය 1 ට අනුව, තලයක පදනමක් යනු මෙම තලයේ ඇති ඕනෑම ඛණ්ඩක නොවන දෛශික දෙකකි.
ඒ හා සමානව, ඕනෑම කොප්ලැනර් නොවන දෛශික තුනක් අභ්‍යවකාශයේ රේඛීයව ස්වාධීන වේ. එබැවින්, coplanar නොවන දෛශික තුනක් අභ්‍යවකාශයේ පදනමක් ලෙස හැඳින්වේ.
පහත ප්‍රකාශය සත්‍යයකි.
ප්රමේයය.අවකාශයේ පදනමක් ලබා දෙන්න. එවිට ඕනෑම දෛශිකයක් රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස දැක්විය හැක 
, කොහෙද x, වයි, z- සමහර සංඛ්යා. එවැනි වියෝජනය අද්විතීයයි.
සාක්ෂි.
මේ අනුව, පදනම මඟින් ඔබට එක් එක් දෛශිකය සංඛ්යා ත්‍රිත්ව සමඟ අද්විතීය ලෙස සම්බන්ධ කිරීමට ඉඩ සලසයි - පදනමේ දෛශික අනුව මෙම දෛශිකයේ ප්‍රසාරණයේ සංගුණක: . ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය වේ, එක් එක් සංඛ්යා ත්‍රිත්ව x, y, zපදනම භාවිතා කරමින්, ඔබ රේඛීය සංයෝජනයක් කරන්නේ නම්, ඔබට දෛශිකය ගැලපිය හැක 
.
පදනම නම් සහ , පසුව සංඛ්යා x, y, zකියලා ඛණ්ඩාංකදී ඇති පදනමේ දෛශික. දෛශික ඛණ්ඩාංක දක්වයි.
කාටේෂියන් සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය
අවකාශයේ දී ලක්ෂ්යයක් ලබා දෙන්න ඕසහ coplanar නොවන දෛශික තුනක්.
කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියඅභ්‍යවකාශයේ (තලයක) ලක්ෂ්යයක් සහ පදනමක් ලෙස හැඳින්වේ, i.e. මෙම ලක්ෂ්යයේ සිට පිටතට යන ලක්ෂ්යයක් සහ කොප්ලැනර් නොවන දෛශික තුනක් (කොලීනියර් නොවන දෛශික 2ක්).
තිත් ඕසම්භවය නමින්; පාදක දෛශික දිශාවට මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛා ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ - abscissa, ordinate සහ applicate axis. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානා ඛණ්ඩාංක ගුවන් යානා ලෙස හැඳින්වේ.
තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සලකා බලන්න එම්. ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංකයක් පිළිබඳ සංකල්පය අපි හඳුන්වා දෙමු එම්. මූලාරම්භය ලක්ෂ්‍යයට සම්බන්ධ කරන දෛශිකය එම්. කියලා අරය දෛශිකයලකුණු එම්.
තෝරාගත් පදනමේ දෛශිකයක් සංඛ්යා ත්‍රිත්ව සමඟ සම්බන්ධ කළ හැකිය - එහි ඛණ්ඩාංක: 
.
ලක්ෂ්ය අරය දෛශික ඛණ්ඩාංක එම්. කියලා ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක එම්. සලකා බලන ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ. M(x,y,z). පළමු ඛණ්ඩාංකය abscissa ලෙසද, දෙවැන්න ආඥාපනත ලෙසද, තෙවන ඛණ්ඩාංකය ලෙසද හැඳින්වේ.
යානයේ ඇති Cartesian ඛණ්ඩාංක සමාන ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත. මෙහි ලක්ෂ්‍යයට ඇත්තේ ඛණ්ඩාංක දෙකක් පමණි - abscissa සහ ordinate.
ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සඳහා, සෑම ලක්ෂ්‍යයකටම නිශ්චිත ඛණ්ඩාංක ඇති බව දැකීම පහසුය. අනෙක් අතට, එක් එක් සංඛ්යා ත්‍රිත්ව සඳහා, මෙම සංඛ්යා ඛණ්ඩාංක ලෙස ඇති තනි ලක්ෂ්යයක් ඇත.
තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම ලෙස ගත් දෛශිකවලට ඒකක දිග තිබේ නම් සහ යුගල වශයෙන් ලම්බක නම්, ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ. කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර.
එය පෙන්වීම පහසුය.
දෛශිකයේ දිශා කෝසයින් එහි දිශාව සම්පූර්ණයෙන්ම තීරණය කරයි, නමුත් එහි දිග ගැන කිසිවක් නොකියයි.
දෛශික වීජ ගණිතයේ මූලික සංකල්ප
අදිශ සහ දෛශික ප්රමාණ
ප්‍රාථමික භෞතික විද්‍යා පාඨමාලාවෙන්, උෂ්ණත්වය, පරිමාව, ශරීර ස්කන්ධය, ඝනත්වය යනාදී සමහර භෞතික ප්රමාණ තීරණය වන්නේ සංඛ්‍යාත්මක අගයකින් පමණක් බව දන්නා කරුණකි. එවැනි ප්රමාණ ලෙස හැඳින්වේ පරිමාණ, හෝ අදිශ.
බලය, වේගය, ත්වරණය සහ ඒ හා සමාන වෙනත් ප්රමාණ තීරණය කිරීම සඳහා සංඛ්‍යාත්මක අගයන්ට අමතරව, අභ්‍යවකාශයේ ඒවායේ දිශාව සැකසීම ද අවශ්ය වේ. නිරපේක්ෂ විශාලත්වයට අමතරව දිශාව මගින් ද සංලක්ෂිත වන ප්රමාණ ලෙස හැඳින්වේ දෛශිකය.
අර්ථ දැක්වීමදෛශිකයක් යනු ලකුණු දෙකකින් නිර්වචනය කරන ලද අධ්යක්ෂණය කරන ලද කොටසකි: පළමු ලක්ෂ්යය දෛශිකයේ ආරම්භය නිර්වචනය කරයි, සහ දෙවන - එහි අවසානය. එබැවින් දෛශිකයක් යනු ඇණවුම් කළ ලක්ෂ්ය යුගලයක් බවද ඔවුහු පවසති.
රූපයේ, දෛශිකය සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් ලෙස නිරූපණය කර ඇති අතර, ඊතලය දෛශිකයේ ආරම්භයේ සිට අවසානය දක්වා දිශාව සලකුණු කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, fig. 2.1
දෛශිකයේ ආරම්භය ලක්ෂ්යය සමග සමපාත වේ නම් 
, සහ තිතකින් අවසන් කරන්න 
, එවිට දෛශිකය දක්වනු ලැබේ 
. මීට අමතරව, දෛශික බොහෝ විට ඊට ඉහලින් ඊතලයක් සහිත එක් කුඩා අකුරකින් දැක්වේ. 
. පොත්වල, සමහර විට ඊතලය මඟ හැරී ඇත, පසුව දෛශිකය දැක්වීමට තද වර්ගය භාවිතා කරයි.
දෛශික වේ ශුන්ය දෛශිකයඑකම ආරම්භය සහ අවසානය ඇති. එය දක්වා ඇත 
හෝ සරලව 
.
දෛශිකයක ආරම්භය සහ අවසානය අතර දුර එය ලෙස හැඳින්වේ දිග, හෝ මොඩියුලය. දෛශික මාපාංකය වම් පස සිරස් තීරු දෙකකින් දැක්වේ: 
, හෝ ඊතල නොමැතිව 
හෝ 
.
එක් පේළියකට සමාන්තර දෛශික ලෙස හැඳින්වේ collinear.
එකම තලයක හෝ එකම තලයකට සමාන්තරව වැතිර සිටින දෛශික ලෙස හැඳින්වේ coplanar.
ශූන්‍ය දෛශිකය ඕනෑම දෛශිකයකට කෝලිනියර් ලෙස සැලකේ. එහි දිග 0 කි.
අර්ථ දැක්වීමදෛශික දෙකක් 
හා 
ඒවා නම් සමාන (රූපය 2.2) ලෙස හැඳින්වේ: 
1)collinear; 2) සම අධ්යක්ෂණය 3) දිග සමාන.
එය මෙසේ ලියා ඇත. 
(2.1)
දෛශිකවල සමානාත්මතාවයේ නිර්වචනය අනුව, දෛශිකයේ සමාන්තර මාරුවකින්, ආරම්භක එකට සමාන දෛශිකයක් ලබා ගනී, එබැවින් දෛශිකයේ ආරම්භය අවකාශයේ ඕනෑම ස්ථානයක තැබිය හැකිය. එවැනි දෛශික (න්‍යායික යාන්ත්‍ර විද්යාව, ජ්‍යාමිතිය), එහි ආරම්භය අභ්‍යවකාශයේ ඕනෑම ස්ථානයක තැබිය හැකි ලෙස හැඳින්වේ. නිදහස්. තවද අපි සලකා බලන්නේ මෙම දෛශික ය.
අර්ථ දැක්වීම දෛශික පද්ධතිය 
එවැනි නියතයන් තිබේ නම් රේඛීය ලෙස රඳා පවතී 
, ඒ අතර අවම වශයෙන් ශුන්ය හැර වෙනත් එකක්වත් ඇති අතර, ඒ සඳහා සමානාත්මතාවය පවතී.
අර්ථ දැක්වීමයම් අනුපිළිවෙලකට ගනු ලබන අත්තනෝමතික නොවන කොප්ලැනර් දෛශික තුනක් අභ්‍යවකාශයේ පදනමක් ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම
අ 
- පදනම සහ දෛශිකය, පසුව සංඛ්යා 
දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලෙස හැඳින්වේ 
මෙම පදනම තුළ.
අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක දෛශික නම් කිරීමෙන් පසුව curly වරහන් තුළ ලියන්නෙමු. උදාහරණ වශයෙන්, 
යන්නෙන් අදහස් වන්නේ දෛශිකය යන්නයි 
සමහර තෝරාගත් පදනමක දිරාපත්වීමක් ඇත: 
.
දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ සහ දෛශික එකතු කිරීමේ ගුණාංග වලින්, ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන දෛශික මත රේඛීය ක්රියා සම්බන්ධයෙන් ප්‍රකාශයක් පහත දැක්වේ.
දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා, එහි ආරම්භයේ සහ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක දන්නේ නම්, එහි අවසානයෙහි අනුරූප ඛණ්ඩාංකයෙන් ආරම්භයේ ඛණ්ඩාංකය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.
දෛශික මත රේඛීය මෙහෙයුම්
දෛශික මත රේඛීය මෙහෙයුම් යනු දෛශික එකතු කිරීමේ (අඩු කිරීමේ) සහ දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම් වේ. අපි ඒවා සලකා බලමු.
අර්ථ දැක්වීම
දෛශික නිෂ්පාදනය 
අංකයකට 
දෛශිකය සමඟ දිශාවට සමපාත වන දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ 
, නම් 
, ප්රතිවිරුද්ධ දිශාව ඇති, නම් 
සෘණ. මෙම දෛශිකයේ දිග දෛශිකයේ දිග ගුණිතයට සමාන වේ 
මොඩියුල අංකය අනුව 
.
පී 
උදාහරණයක්
.
දෛශිකය සාදන්න 
, නම් 
හා 
(රූපය 2.3).
දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ විට එහි ඛණ්ඩාංක එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ..
ඇත්ත වශයෙන්ම, එසේ නම්, එසේ නම්
දෛශික නිෂ්පාදනය
මත 
දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ 
;
- ප්රතිවිරුද්ධ දිශාව 
.
දිග 1 දෛශිකයක් ලෙස හඳුන්වන බව සලකන්න තනි(හෝ ortho).
දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාකාරිත්වය භාවිතා කරමින්, ඕනෑම දෛශිකයක් එකම දිශාවක ඒකක දෛශිකයක් අනුව ප්රකාශ කළ හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකය බෙදීම 
එහි දිග සඳහා 
(එනම් ගුණ කිරීම 
මත 
), අපි දෛශිකයට සමාන දිශාවකින් ඒකක දෛශිකයක් ලබා ගනිමු 
. අපි එය දක්වන්නෙමු 
. එබැවින් එය අනුගමනය කරයි 
.
අර්ථ දැක්වීම
දෛශික දෙකක එකතුව 
හා 
දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ 
, එය ඔවුන්ගේ පොදු සම්භවයෙන් පිටවන අතර පැති දෛශික වන සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය වේ 
හා 
(රූපය 2.4).
.
සමාන දෛශික අර්ථ දැක්වීම අනුව 
ඒක තමයි 
-ත්රිකෝණ රීතිය. ත්රිකෝණ රීතිය ඕනෑම දෛශික සංඛ්‍යාවකට දීර්ඝ කළ හැකි අතර එමඟින් බහුඅස්‍ර නියමය ලබා ගත හැක: 
පළමු දෛශිකයේ ආරම්භය සම්බන්ධ කරන දෛශිකය වේ 
අවසාන දෛශිකයේ අවසානය සමඟ 
(රූපය 2.5).
ඉතින්, එකතුව දෛශිකය ගොඩනැගීම සඳහා, දෙවන දෛශිකයේ අවසානය දක්වා පළමු දෛශිකයේ අවසානය දක්වා ද, තුන්වන දෛශිකයේ ආරම්භය සඳහා දෙවන අවසානයට ද, යනාදිය සම්බන්ධ කිරීම අවශ්ය වේ. එවිට එකතුව දෛශිකය වනුයේ දෛශිකවල පළමු දෛශිකයේ ආරම්භය හා අවසාන අවසානය සම්බන්ධ කරන දෛශිකයයි..
දෛශික එකතු කරන විට, ඒවාට අනුරූප ඛණ්ඩාංක ද එකතු වේ
ඇත්ත වශයෙන්ම, නම් සහ 
,
දෛශික නම් 
හා 
coplanar නොවේ, එවිට ඒවායේ එකතුව විකර්ණයකි 
මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නලයක් (රූපය 2.6)
,
කොහෙද
දේපළ:
- සංක්රමණිකත්වය;
- ආශ්‍රය;
- අංකයකින් ගුණ කිරීම සම්බන්ධයෙන් බෙදා හැරීම
.
එම. දෛශික එකතුවක් වීජීය එකකට සමාන නීතිවලට අනුව පරිවර්තනය කළ හැකිය.
අර්ථ දැක්වීමදෛශික දෙකක වෙනස 
හා 
එවැනි දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ 
, දෛශිකයට එකතු කළ විට 
දෛශිකයක් ලබා දෙයි 
. එම. 
නම් 
. ජ්යාමිතික වශයෙන් 
දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ දෙවන විකර්ණය නියෝජනය කරයි 
හා 
පොදු ආරම්භයක් සහිත සහ දෛශිකයේ අවසානයේ සිට යොමු කෙරේ 
දෛශිකයේ අවසානය දක්වා 
(රූපය 2.7).
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම. ප්රක්ෂේපණ ගුණාංග
සංඛ්යා අක්ෂය පිළිබඳ සංකල්පය සිහිපත් කරන්න. සංඛ්‍යාත්මක අක්ෂයක් යනු සරල රේඛාවකි:
දිශාව (→);
යොමු ලක්ෂ්යය (ලක්ෂ්යය O);
පරිමාණයේ ඒකකයක් ලෙස ගනු ලබන කොටස.
දෛශිකයක් තිබිය යුතුය 
සහ අක්ෂය 
. ලකුණු වලින් 
හා 
අපි අක්ෂය මත ලම්බක හෙළමු 
. අපි ලකුණු ලබා ගනිමු 
හා 
- ලක්ෂ්ය ප්රක්ෂේපණ 
හා 
(රූපය 2.8 a).
අර්ථ දැක්වීම
දෛශික ප්රක්ෂේපණය 
අක්ෂය අනුව 
කොටසේ දිග ලෙස හැඳින්වේ 
මෙම අක්ෂය, දෛශිකයේ ආරම්භයේ සහ අවසානයෙහි ප්රක්ෂේපණවල පාදයන් අතර පිහිටා ඇත 
අක්ෂය අනුව 
. ඛණ්ඩයේ දිශාව නම් එය වැඩි ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ 
ප්රක්ෂේපණ අක්ෂයේ දිශාව සමග සමපාත වන අතර, මෙම දිශාවන් ප්රතිවිරුද්ධ නම් අඩු ලකුණක් සමඟ. තනතුර: 
.
ඕ 
අර්ථ දැක්වීම
දෛශිකය අතර කෝණය 
සහ අක්ෂය 
කෝණය ලෙස හැඳින්වේ 
, එමගින් කෙටිම ආකාරයෙන් අක්ෂය හැරවීමට අවශ්ය වේ 
එය දෛශිකයේ දිශාව සමග සමපාත වන පරිදි 
.
අපි සොයා බලමු 
:
රූප සටහන 2.8 a පෙන්වයි: 
.
අත්තික්කා මත. 2.8 b): .
දෛශිකයක් අක්ෂයක් මතට ප්රක්ෂේපණය කිරීම මෙම දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකය සහ ප්‍රක්ෂේපන අක්ෂය අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන වේ: 
.
ප්රක්ෂේපණ ගුණාංග:
අ 
, එවිට දෛශික විකලාංග ලෙස හැඳින්වේ
උදාහරණයක්
.
දෛශික ලබා දී ඇත 
,
.ඉන්පසු
.
උදාහරණයක්.
දෛශිකයේ ආරම්භය නම් 
ලක්ෂ්යයේ වේ 
, සහ ලක්ෂ්‍යයකින් අවසන් කරන්න 
, පසුව දෛශිකය 
ඛණ්ඩාංක ඇත:
ඕ 
අර්ථ දැක්වීම
දෛශික දෙකක් අතර කෝණය 
හා 
කුඩාම කෝණය ලෙස හැඳින්වේ 
(රූපය 2.13) මෙම දෛශික අතර, පොදු ආරම්භයක් දක්වා අඩු කර ඇත 
.
දෛශික අතර කෝණය 
හා 
සංකේතාත්මකව මෙසේ ලියා ඇත: 
.
එය කෝණය යන අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත දැක්වේ 
දෛශික අතර වෙනස් විය හැක 
.
අ 
, එවිට දෛශික විකලාංග ලෙස හැඳින්වේ.
.
අර්ථ දැක්වීම.ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සහිත දෛශිකයේ කෝණවල කෝසයින දෛශිකයේ දිශා කෝසයින ලෙස හැඳින්වේ. දෛශිකය නම් 
ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ කෝණ සාදයි 
.