Основные формулы нахождения расстояний с помощью проекции вектора на ось. Линейные операции над векторами Найти проекцию вектора на ось

Вначале вспомним, что такое координатная ось , проекция точки на ось и координаты точки на оси .

Координатная ось - это прямая, которой придается какое-то направление. Можете считать, что это вектор с бесконечно большим модулем.

Координатная ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекция точки на ось - это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось (рис. 8). То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координата точки на ось - это число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

Скалярная проекция вектора на ось - это число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Важно! Обычно вместо выражения скалярная проекция вектора на ось говорят просто - проекция вектора на ось , то есть слово скалярная опускают. Проекция вектора обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y , его проекция будет обозначаться а y (рис. 9).

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Надо помнить: скалярная проекция вектора на ось (или, просто, проекция вектора на ось) - это число (не вектор)! Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н, отрицательной, если величина х к меньше величины х н и равной нулю, если х к равно х н (рис. 10).

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка 11 видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус - функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

При решении задач часто будут использоваться следующие свойства проекций: если

а = b + c +…+ d , то а x = b x + c x +…+ d x (аналогично на другие оси),

a = mb , то а x = mb x (аналогично на другие оси).

Формула а x = а Cos α будет очень часто встречаться при решении задач, поэтому ее обязательно надо знать. Правило определения проекции надо знать наизусть!

Запомните!

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Еще раз - НАИЗУСТЬ!

1. Нахождение проекций геометрически.

Вектор
- проекция вектора на ось OX
- проекция вектора на ось OY

Определение 1. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется взятое со знаком "плюс" или "минус" число, соответствующее длине отрезка, расположенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось координат.

Знак проекции определяется так. Если при движении вдоль оси координат происходит перемещение от точки проекции начала вектора к точке проекции конца вектора в положительном направлении оси, то проекция вектора считается положительной. Если же - противоположно оси, то проекция считается отрицательной.

По рисунку видно, что если вектор ориентирован как-то противоположно оси координат, то его проекция на эту ось отрицательна. Если вектор ориентирован как-то в положительном направлении оси координат, то его проекция на эту ось положительна.

Если вектор перпендикулярен оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция на эту ось равна модулю вектора.
Если вектор противоположно направлен оси координат, то его проекция на эту ось по абсолютной величине равна модулю вектора, взятому со знаком минус.

2. Наиболее общее определение проекции.

Из прямоугольного треугольника ABD : .

Определение 2. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется число, равное произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси координат.

Знак проекции определяется знаком косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси.
Если угол острый, то косинус имеет положительный знак, и проекции - положительны. Для тупых углов косинус имеет отрицательный знак, поэтому в таких случаях проекции на ось отрицательны.
- поэтому для векторов, перпендикулярных к оси, проекция равна нулю.

По физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №5
к главе «ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ ».

1. Что называют проекцией вектора на координатную ось?

1. Проекцией вектора а на координатную ось называют длину отрезка между проекциями начала и конца вектора а (перпендикулярами, опущенными из этих точек на ось) на эту координатную ось.

2. Как связан вектор перемещения тела с его координатами?

2. Проекции вектора перемещения s на оси координат равны изменению соответствующих координат тела.

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то какой знак имеет проекция вектора перемещения на координатную ось? А если она уменьшается?

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет положительной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора по направлению самой оси.

Если координата точки с течением времени будет уменьшаться, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет отрицательной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора против направляющей самой оси.

4. Если вектор перемещения параллелен оси X, то чему равен модуль проекции вектора на эту ось? А модуль проекции этого же вектора на ось У?

4. Если вектор перемещения параллелен оси Х, то модуль проекции вектора на эту ось равен модулю самого вектора, а его проекция на ось Y равна нулю.

5. Определите знаки проекций на ось X векторов перемещения, изображенных на рисунке 22. Как при этих перемещениях изменяются координаты тела?

5. Во всех нижеследующих случаях координата Y тела не изменяется, а координата Х тела будет изменяться следующим образом:

a) s 1 ;

проекция вектора s 1 , на ось Х отрицательна и по модулю равна длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 1 .

b) s 2 ;

проекция вектора s 2 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 2 .

c) s 3 ;

проекция вектора s 3 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 3 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 3 .

d) s 4 ;

проекция вектора s 4 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 4 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 4 .

e) s 5 ;

проекция вектора s 5 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 5 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 5 .

6. Если значение пройденного пути велико, то может ли модуль перемещения быть малым?

6. Может. Это связано с тем, что перемещение (вектор перемещения) является векторной величиной, т.е. представляет собой направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующими положениями. А конечное положение тела (вне зависимости от величины пройденного пути) может находиться как угодно близко к первоначальному положению тела. В случае совпадения конечного и начального положений тела, модуль перемещения будет равен нулю.

7. Почему в механике более важен вектор перемещения тела, чем пройденный им путь?

7. Основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Зная вектор перемещения тела мы можем определить координаты тела, т.е. положение тела в любой момент времени, а зная только пройденный путь мы не можем определить координаты тела, т.к. мы не имеем сведений о направлении движения, а можем только судить о длине пройденного пути на данный момент времени.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а x = х к − x н.
Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Скалярное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ [- в конечномерном векторном пространстве определяется как сумма произведений одинаковых компонент перемножаемых векторов .

Напр., С. п. в. a = (a 1 , ..., a n ) и b = (b 1 , ..., b n ):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .

Определение 1

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .

Пример 1

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости О х у задается точка M 1 (x 1 , y 1) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов (x 1 , 0) и (0 , y 1) .

Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → - нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Определение 2

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → - n p b → a → .

Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ - угол между векторами a → и b → .

Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.

Пример 2

Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Ответ: 4.

При известном cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Определение 3

Числовой проекцией вектора a → на ось, совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.

Пример 3

Задан b → = (- 3 , 4) . Найти числовую проекцию a → = (1 , 7) на L .

Решение

На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = (a x , a y) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Ответ: 5.

Пример 4

Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = - 2 , 3 , 1 и b → = (3 , - 2 , 6) . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Ответ: - 6 7 .

Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:

Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следует n p b → a → = a → · cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Определение 4

Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:

• длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ (a → , b →) ^ < 90 ° ;
• ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда (a → , b → ^) = 90 ° ;
• длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условием 90 ° < a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 < 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Ответ: - 2 .

Пример 6

Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = (- 2 , 1 , 2) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Ответ: (- 6 , 3 , 6) .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter