Определение 1. На плоскости параллельной проекцией точки А на ось l называется точка - точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору, задающему направление проектирования.

Определение 2. Параллельной проекцией вектора на ось l (на вектор) называется координата вектора, относительно базиса оси l, где точки и - параллельные проекции соответственно точек А и В на ось l (рис. 1).

Согласно определению имеем

Определение 3. если и базис оси l декартов, то есть, то проекция вектора на ось l называется ортогональной (рис. 2).

В пространстве определение 2 проекции вектора на ось остается в силе, только направление проектирования задается двумя неколлинеарными векторами (рис. 3).

Из определения проекции вектора на ось вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости (рис. 4).

Теорема 1. Ортогональная проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между положительным направлением оси l и, т. е.

С другой стороны

Из находим

Подставив АС в равенство (2), получим

Так как числа x и одного знака в обоих рассматриваемых случаях ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то из равенства (4) следует

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональную проекцию вектора на ось и поэтому слово «орт» (ортогональная) в обозначении будем опускать.

Приведем ряд формул, которые используются в дальнейшем при решении задач.

а)Проекция вектора на ось.

Если, то ортогональная проекция на вектор согласно формуле (5) имеет вид

в) Расстояние от точки до плоскости.

Пусть б - данная плоскость с нормальным вектором, M - данная точка,

d - расстояние от точки М до плоскости б (рис. 6).

Если N- произвольная точка плоскости б, а и - проекции точек Mи Nна ось, то

• г) Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть а и b- данные скрещивающиеся прямые, - перпендикулярный им вектор, А и В - произвольные точки прямых а и b соответственно (рис. 7), и - проекции точек Aи Bна, тогда

д) Расстояние от точки до прямой.

Пусть l - данная прямая с направляющим вектором, M - данная точка,

N - ее проекция на прямую l , тогда - искомое расстояние (рис. 8).

Если А - произвольная точка прямой l , то в прямоугольном треугольнике MNAгипотенуза MAи катет могут быть найдены. Значит,

е) Угол между прямой и плоскостью.

Пусть - направляющий вектор данной прямой l , - нормальный вектор данной плоскости б, - проекция прямой l на плоскость б (рис. 9).

Как известно, угол ц между прямой l и ее проекцией на плоскость б называется углом между прямой и плоскостью. Имеем

Приведем примеры решения метрических задач векторно-координатным методом.

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол .

Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем

1. F x = F cos α

Проекция вектора в данном случае положительна

Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.

Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.

Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .

Проекция силы F на ось х равна нулю

F x = F cos 90° = 0.

Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .

Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .

Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.

Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.

Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника

Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x

где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

Введение…………………………………………………………………………3

1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4

2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5

3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6

4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8

5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение:

Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.

Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.

Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.

1. Значение вектора и скаляра.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .

Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:

Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.

Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.

Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.

2.Определение проекции, оси и координатой точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

3.Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

4. Основная формула векторной алгебры.

Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а x = а x ·i, а y = а y ·j.

Но в соответствии справилом сложения векторов

а = а x + а y .

а = а x ·i + а y ·j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 – x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 – x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 < x 1 и проекция x 2 – x 1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l , то x 2 = x 1 и x 2 – x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Скалярные и векторные величины

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами .

Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.

Определение Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками: первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Если начало вектора совпадает с точкой , а конец с точкой, то вектор обозначается
. Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней. В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.

К векторам относится нулевой вектор , у которого начало и конец совпадают. Он обозначается или просто.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем . Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева:
, или без стрелочек
или.

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными .

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

Определение Два вектора
и
называются равными (рис. 2.2), если они:
1)коллинеарны ; 2) сонаправлены 3) равны по длине.

Это записывают так:
(2.1)

Из определения равенства векторов вытекает, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный начальному, потому начало вектора можно разместить в любую точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, геометрии), начало которых можно размещать в любой точке пространства, называют свободными . И именно такие векторы мы будем рассматривать.

Определение Система векторов
называется линейно зависимой, если существуют такие постоянные
, среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых выполняется равенство.

Определение Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности .

Определение Если
- базис и вектор, то числа
называются координатами векторав данном базисе.

Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например,
означает, что векторв некотором выбранном базисе имеет разложение:
.

Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.

Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим их.

Определение Произведением вектора на число
называется вектор, совпадающий по направлению с вектором, если
, имеющий противоположное направление, если
отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины векторана модуль числа
.

Пример . Построить вектор
, если
и
(рис. 2.3).

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число .

Действительно, если , то

Произведением вектора на
называется вектор
;
- противоположено направленный.

Отметим, что вектор, длина которого равна 1, называется единичным (или ортом ).

Пользуясь операцией умножения вектора на число, любой вектор можно выразить через единичный вектор того же направления. Действительно, поделив вектор на его длину(т.е. умноживна), получим единичный вектор того же направления, что и вектор. Его будем обозначать
. Отсюда следует, что
.

Определение Суммой двух векторов иназывается вектор, который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторыи(рис. 2.4).

.

По определению равных векторов
поэтому
-правило треугольника . Правило треугольника можно распространить на любое количество векторов и таким образом получить правило многоугольника:
- это вектор, который соединяет начало первого векторас концом последнего вектора(рис. 2.5).

Итак, для того чтобы построить вектор суммы, надо к концу первого вектора пристроить начало второго, к концу второго пристроить начало третьего и так далее. Тогда вектором суммы и будет вектор, который соединяет начало первого из векторов с концом последнего .

При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты

Действительно, если и
,

Если векторы
ине компланарны, то их сумма является диагональю
параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2.6)

,

где

Свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- дистрибутивность по отношению к умножению на число

.

Т.е. векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую.

Определение Разностью двух векторов иназывают такой вектор, который при сложении с векторомдает вектор. Т.е.
если
. Геометрическипредставляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторахис общим началом и направленную из конца векторав конец вектора(рис. 2.7).

Проекция вектора на ось. Свойства проекций

Вспомним понятие числовой оси. Числовой осью называют прямую, на которой определено:

направление (→);

начало отсчета (точка О);

отрезок, который принимают за единицу масштаба.

Пусть имеется вектор
и ось. Из точекиопустим перпендикуляры на ось. Получим точкии- проекции точеки(рис. 2.8 а).

Определение Проекцией вектора
на осьназывается длина отрезка
этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора
на ось. Она берется со знаком плюс, если направление отрезка
совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение:
.

Определение Углом между вектором
и осьюназывается угол, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора
.

Найдем
:

На рис.2.8 а представлена:
.

На рис. 2.8 б) : .

Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью проекций:
.

Свойства проекций :

Если
, то векторы называются ортогональными

Пример . Заданы векторы
,
.Тогда

.

Пример. Если начало вектора
находится в точке
, а конец в точке
, то вектор
имеет координаты:

Определение Углом между двумя векторами иназывается наименьший угол
(рис. 2.13) между этими векторами, сведенными в общее начало.

Угол между векторами исимволически записывают таким образом:.

Из определения следует, что угол между векторами может изменяться в пределах
.

Если
, то векторы называются ортогональными.

.

Определение. Косинусы углов вектора с осями координат называются направляющими косинусами вектора. Если вектор
образует с осями координат углы

.